Chủ đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 07 : TIẾP TUYẾN – SỰ TIẾP XÚC

❖ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) 0 0 ; M x y thuộc đồ thị hàm số:

• Cho hàm số ( ) ( ) : C y f x = và điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x y C  . Viết phương trình tiếp tuyến với đường

cong ( ) C tại điểm M .

▪ Bước 1: Tính đạo hàm ( ) 'f x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) 0 'f x .

▪ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: ( )( ) 0 0 ' y f x x x y = − + .

❖ Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.

▪ Bước 1: Gọi ( )  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

▪ Giả sử ( ) 0 0 ; M x y là tiếp điểm. Khi đó 0x thỏa mãn: ( ) ( ) 0 ' 1 = f x k .

▪ Giải ( ) 1 tìm 0x . Suy ra ( ) 0 0 y f x = .

▪ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( ) 0 0 y k x x y = − +

❖ Điều kiện để hai hàm số tiếp xúc

▪ Cho hai hàm số ( ) ( ) : C y f x = và ( ) ( ) ' : C y g x = . Đồ thị ( ) C và ( ) C tiếp xúc nhau khi chỉ

khi hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )

=   = 

f x g x

f x g x

có nghiệm.

LÍ THUYẾT

Chủ đề 07: TiẾP tuyến và sự tiếp xúc

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

Lời giải Chọn A

Tập xác định:  \ 1 D = . Ta có:

( )

2 2

1 y

x = −

−

, 1 x  .

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang 1 y = và đường tiệm cận đứng 1 x = .

Giả sử ( ) ( ) ( ) ; 1 M M m y C m   1 2 1 1 1 M

m y m m +  = = + − − ; ( )

( )

2 2

1 y m

m  = −

−

.

Phương trình tiếp tuyến  là:

( )

( ) 2 2 2 1 1 1 y x m m m = − − + + − −

( )

2 2 2 1 2 1 0 x m y m m  + − − − + = .

Gọi A là giao điểm của  và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương

trình:

( )

( ) 2

1

2 2 2 1 1 1 1

y

x m y x m m m

=    = −  = − − + +  − − 

( ) 2 1;1 A m  − .

Gọi B là giao điểm của  và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương

trình:

( )

( ) 2

1

3 4 2 2 1 1 1 1 1 1

x

m y y x m m m m m

= 

+   = = +  = − − + + − −  − − 

4 1;1 1 B m    +   −  

.

Suy ra: ( ) ( )

( )

( )

2 2 2 4

2 4 16 2 2 2 4 1 1 4 1 1 1 AB m m m m m m   = − + = − + = − +   − −   −

.

( )

( )

2

4 2 1 ;

4 1

m m d O

m

− − + =

+ −

.

( )

( )

( )

2

4

4 2 1 1 1 2 ; . . . 1 4 2 2 1 4 1

OAB

m m S d O AB m m m



− − +  =  = − + − + −

2 2 2 1 2 1 1 1

m m m m m m

− − + + − = = − − (vì 1 m ) 2 2 3 4 1 1 1 m m m m = + + = + −+ − −.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 1 m − và 2

1 m −: ( ) 2 1 2 2 1 m m − +  −

( ) 2 4 1 4 2 2 1 m m  + − +  + − .

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Cho hàm số ( ) 1 1 x y C x

+ = − . Điểm M thuộc ( ) C có hoành độ lớn hơn1 , tiếp tuyến của ( ) C

tại M cắt hai tiệm cận của ( ) C lần lượt tại A , B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng

A. 4 2 2 + . B. 4 . C. 4 2 . D. 4 2 + .

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng 4 2 2 + khi

2 1 1 2 1 1

m m m m

 −=   = + −    

.

Lời giải Chọn D

Gọi 3 2 1 3 ; 2 2 2 A a a a   − +    

và 3 2 1 3 ; 2 2 2 B b b b   − +    

với a b  là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị

( ) C mà tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

Ta có ( ) ( )

2 2 3 3 3 3 2 2 f a f b a a b b   =  − = − ( ) 2 2 2 a b a b  − = − 2 a b  + = .

Gọi ( ) ( ) 3 3 2 2 1 3 ; 2 2 4 4 a b I a b a b +   + − + +    

là trung điểm của đoạn AB .

Với 2 a b + = ta có ( ) 3 4 2 8 6 1; 2 4 4

ab ab I −   − − +    

hay ( ) 1;1 I .

Lại có ( ) ( ) 3 3 2 2 1 3 ; 2 2 AB b a b a b a   − − − −    

cùng phương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2; 3 u a b ab a b + + − + .

Hay ( ) 2; 2 u ab − − . Nên đường thẳng AB có một véc tơ pháp tuyến là ( ) 2 ;2 n ab + .

Suy ra phương trình đường thẳng AB là ( )( ) ( ) 2 1 2 1 0 ab x y + − + − = .

Do đường thẳng AB đi qua ( ) 5;3 D nên ( ) 4 2 4 0 ab + + = 4 12 0 3 ab ab  + =  = −.

Thay 3 ab = − vào phương trình AB ta được: 2 1 0 x y − + = .

Cách 2 – trắc nghiệm: Đồ thị hàm số ( ) 3 2 1 3 2 2 2 y x x C = − +

có điểm uốn là ( ) 1;1 I .

Do đó đường thẳng AB đi …