Chủ đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 03 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

❖ Định nghĩa.

Cho hàm số ( ) = y f x xác định trên tập . D

▪ Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) = y f x trên D nếu:      =  0 0

( ) , , ( ) f x M x D x D f x M .

▪ Kí hiệu:

 = max ( )

x D M f x .

▪ Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) = y f x trên D nếu:      =  0 0

( ) , , ( ) f x m x D x D f x m .

▪ Kí hiệu:

 = min ( )

x D m f x .

❖ Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

▪ Bước 1: Tính ( ) f x và tìm các điểm  1 2 , ,..., n x x x D mà tại đó ( )  = 0 f x hoặc hàm số không có

đạo hàm.

▪ Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

▪ Bước 1:

Hàm số đã cho ( ) = y f x xác định và liên tục trên đoạn     ; . a b

Tìm các điểm 1 2 , ,..., n x x x trên khoảng ( ) ;a b , tại đó ( )  = 0 f x hoặc ( ) f x không xác định.

▪ Bước 2: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , ,..., , . n f a f x f x f x f b

▪ Bước 3: Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       = 1 2 , max max , ,..., , , . n a b f x f x f x f x f a f b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       = 1 2 , min min , ,..., , , . n a b f x f x f x f x f a f b

o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

▪ Bước 1: Tính đạo hàm ( ) f x .

▪ Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm ( ; ) ix a b của phương trình  = ( ) 0 f x và tất cả các điểm ( ; ) i a b

làm cho ( ) f x không xác định.

▪ Bước 3. Tính

+ → = lim ( )

x a A f x ,

− → = lim ( )

x b B f x , ( ) i f x ,  ( ) i f .

▪ Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận =

( ; ) max ( )

a b M f x , =

( ; ) min ( )

a b m f x .

▪ Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

LÍ THUYẾT

Chủ đề 03: Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

▪ Nếu ( ) = y f x đồng biến trên     ;a b thì

( ) ( )

( ) ( )

   

   

 =  = 

;

;

min

max

a b

a b

f x f a

f x f b

.

▪ Nếu ( ) = y f x nghịch biến trên     ;a b thì

( )

( )

   

   

 =  = 

;

;

min ( )

. max ( )

a b

a b

f x f b

f x f a

▪ Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

❖ Bất đẳng thức trị tuyệt đối:

▪ Cho hai số thực ,a b khi đó ta có: +  +  − a b a b a b .

▪ Dấu “ = ” vế trái xảy ra khi ,a b cùng dấu. Dấu “ = ” vế phải xảy ra khi ,a b trái dấu.

▪ Tính chất của hàm trị tuyệt đối:  

− + + = , 2

a b a b max a b .

❖ Phương pháp chung để giải các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

▪ Bước 1: Xét hàm số ( ) = y f x trên     ,a b .

Tính đạo hàm ( ) = . y f x

Giải phương trình ( )  = 0 f x và tìm các nghiệm ia thuộc     ,a b .

▪ Bước 2: Giải phương trình ( ) = 0 f x và tìm các nghiệm jb thuộc     ,a b .

▪ Bước 3: Tính các giá trị ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; i j f a f b f a f b . So sánh và kết luận.