Chủ đề tính đơn điệu của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

LÝ THUYẾT

CHỦ ĐỀ 01: CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

❖ Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K .

• Định nghĩa 1. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và ( ) = y f x là một hàm số xác định

trên K, ta nói:

Hàm số ( ) = y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x Hàm số ( ) = y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. ❖ Nhận xét.

• Nhận xét 1.

▪ Nếu hàm số ( ) f x và ( ) g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số ( ) ( ) + f x g x cũng

đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu ( ) ( ) − f x g x .

• Nhận xét 2. ▪ Nếu hàm số ( ) f x và ( ) g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì

hàm số ( ) ( ) . f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi

các hàm số ( ) ( ) , f x g x không là các hàm số dương trên D.

• Nhận xét 3.

▪ Cho hàm số ( ) = u u x , xác định với ( ) ;  x a b và ( ) ( ) ;  u x c d . Hàm số ( )     f u x cũng xác

định với ( ) ;  x a b . Ta có nhận xét sau:

▪ Giả sử hàm số ( ) = u u x đồng biến với ( ) ;  x a b . Khi đó, hàm số ( )     f u x đồng biến với

( ) ( ) ;   x a b f u đồng biến với ( ) ;  u c d .

▪ Giả sử hàm số ( ) = u u x nghịch biến với ( ) ;  x a b . Khi đó, hàm số ( )     f u x nghịch biến với

( ) ( ) ;   x a b f u nghịch biến với ( ) ;  u c d .

❖ Định lí 1.

• Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì ( ) ' 0,   f x x K .

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì ( ) ' 0,   f x x K .

❖ Định lí 2.

• Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu ( ) ' 0,   f x x K thì hàm số f đồng biến trên K.

Nếu ( ) ' 0,   f x x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

Nếu ( ) ' 0, =  f x x K thì hàm số f không đổi trên K.

Chủ đề 01: Cơ bản về tính đơn điệu của hàm số

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

❖ Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:

Nếu ( ) 0 f x   , x K  và ( ) 0 f x  = chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến

trên K .

Nếu ( ) 0 f x   , x K  và ( ) 0 f x  = chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến

trên K

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số ( ) ; y f x m = đơn điệu trên khoảng ( ) ; .

• Bước 1: Ghi điều kiện để ( ) ; y f x m = đơn điệu trên ( ) ; . Chẳng hạn:

▪ Đề yêu cầu ( ) ; y f x m = đồng biến trên ( ) ;  ( ) ; 0 y f x m    =  .

▪ Đề yêu cầu ( ) ; y f x m = nghịch biến trên ( ) ;  ( ) ; 0 y f x m    =  .

• Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là ( ) g x , có hai trường hợp thường gặp :

▪ ( ) m g x  , ( ) ; x  

( ) ( ) ; max m g x    .

▪ ( ) m g x  , ( ) ; x  

( ) ( ) ; min m g x    .

• Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số ( ) g x trên D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó suy ra m .

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số ax b y cx d + = + đơn điệu trên khoảng ( ) ; .

• Tìm tập xác định, chẳng hạn d x c − . Tính đạo hàm y.

• Hàm số đồng biến 0 y   (hàm số nghịch biến 0 y   ). Giải ra tìm được m ( ) 1 .

• Vì d x c − và có ( ) ; x   nên ( ) ; d

c  −  . Giải ra tìm được m ( ) 2 .

• Lấy giao của ( ) 1 và ( ) 2 được các giá trị m cần tìm.

➢ Cần nhớ: “Nếu hàm số ( ) f t đơn điệu một chiều trên miền D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

biến) thì phương trình ( ) 0 f t = có tối đa một nghiệm và u , v D  thì ( ) ( ) f u f v u v =  = .