Bài toán tìm điểm trên đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ

 Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách

Điểm M thuộc đồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) 0 0 ; = ⇒ y f x M x f x .

 Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: ( ) ( ) 0 ; = d M Ox f x .

 Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: ( ) 0 ; = d M Oy x .

 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : 0 ∆ + + = ax by c là: ( ) ( ) 0 0

2 2 . ; + + ∆= +

ax b f x C d M a b

.

 Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng ( ) ( ) 2 2 − + − M N M N x x y y .

Ví dụ 1: Cho hàm số: ( ) 2 1 + = − x y C x . Tìm điểm M thuộc ( ) C sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

= − y x bằng 2 .

Lời giải

Gọi ( ) ( ) 2 ; , 1 . 1 +  ∈ ≠   −  

a M a C a a

Khoảng cách từ M đến đường thẳng = − y x là: 2 2 1 2 2 2 1 2

+ + − = = ⇔ + = −

a a a d a a

( ) ( )

2 2 2 0 0; 2 2 4 0 2 0 2 2;0 2 0

= ⇒ −   − + = ⇔ ⇔ + = ⇔  = −⇒ − + =  

a M a a a a a M a a

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là ( ) 0; 2 − M hoặc ( ) 2;0 − M .

Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) 2 1 1 + = − x y C x . Gọi M là điểm nằm trên đồ thị ( ) C và , H K tương ứng là hình chiếu

vuông góc của M trên các trục Ox và Oy . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích

bằng 2.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải

Gọi ( )( ) 2 1 ; 1 1 +  ∈ ≠   −  

a M a C a a . Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.

Ta có: ( ) ( ) . ; . ; = = MHOK S MH MK d M Ox d M Oy

2 2 2

2 2

1 2 2 2 2 2 0 2 1 2 . 2 2 1 1 2 2 2 2 3 2 0 2

   = + = − − + = + +  = = = ⇔ ⇔ ⇔    − − + = − + + − =   = − 

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Vậy 1 ;4 2       M hoặc ( ) 2:1 − M . Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) 1 1 −− = − x y C x . Có bao nhiêu điểm ( ) ∈ M C để khoảng cách từ M đến đường thẳng

: 2 1 ∆ = − y x bằng 3 5

.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Lời giải

Gọi ( )( ) 1 ; 1 1 −−  ∈ ≠   −  

a M a C a a . Ta có: ( )

1 2 1 3 1 : 2 1 0 ; 5 5

+ + − − ∆ − −= ⇒ ∆= =

a a a x y d M

2 2 2 2 2

1 2 2 2 3 3 2 5 5 0 2 2 2 3 1 2 2 2 2 3 3 2 1 0 1

a a a a a a a a a a a a a a a

   = − + = − − + =  ⇔ − + = − ⇔ ⇔ ⇔    − + = − + + −=   = − 

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2 1 = − + y x x . Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M

đến trục tung bằng 1.

A. ( ) 1;0 M hoặc ( ) 1;2 − M . B. ( ) 0;1 M hoặc ( ) 2; 1 − M .

C. ( ) 1;0 M . D. ( ) 2; 1 − M .

Lời giải

Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra ( ) ( )

1;0 1 0 1;2 1 2

 = ⇒ =  ⇒  − = −⇒ =  

M M

M M

M x y M x y

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hàm số 3 3 = − y x x có đồ thị ( ) C và điểm ( ) 1; 3 − K . Biết điểm ( ) ; M x y trên ( ) C thỏa mãn

1 ≥− M x và độ dài KM nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng OM .

A. 2 . = y x B. . = − y x C. 3 . = y x D. 2 . = − y x

Lời giải

Điểm ( ) ( ) ( ) 3 ; ; 3 ∈ ⇒ − M x y C M x x x với 1 ≥− x .

Ta có ( ) ( ) ( )

2 2 3 3 1; 3 3 1 3 3 KM x x x KM x x x = − − + ⇒ = − + − + . Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 3 . = − + − + f x x x x

Xét hàm số ( ) f x trên đoạn [ ) 1; −+∞, ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 3 2 1 6 1 3 3 ; 1. ′ = − + − − + ∀≥− f x x x x x x

Phương trình ( ) ( ) ( )( )

( )

3 0 1 . 1 3 1 3 3 0 1   ′ = ⇔ − + + − + = ⇔ =    g x

f x x x x x x vì ( ) 0; 1. ≥ ∀≥− g x x