Chuyên đề trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ) ;a +∞;

( ) ;b −∞ hoặc ( ) ; −∞+∞). Đường thẳng 0 y y = là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

hàm số ( ) y f x = nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 0 lim ; lim . x x y y y y →+∞ →−∞ = =

▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng 0 x x = là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

( ) y f x = nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

0 lim ; x x y + → = +∞

0 lim ; x x y − → = +∞

0 lim ; x x y + → = −∞

0 lim . x x y − → = −∞

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số

Phương pháp giải:

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) y f x = ta thực hiện các bước sau:

▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số ( ) y f x =

▪ Bước 2: Tìm giới hạn của ( ) f x khi x tiến đến biên của miền xác định.

▪ Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận.

Đặc biệt: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) ( )

f x y g x = ta có thể làm như sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định D.

- Bước 2:

+) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính các giới hạn: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ và kết luận tiệm cận ngang

+) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức

( ) ( )

f x g x về dạng tối giản nhất có thể từ đó kết luận về tiệm cận đứng.

Chú ý:

- Nếu bậc của ( ) f x nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ( ) g x thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

- Nếu bậc của ( ) f x lớn hơn bậc của thì ( ) g x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

a) ( ) 2 2 . 1 x y C x − = − b) ( )

2

2 2 5 1 . 5 4 x x y C x x + + = − +

Lời giải

a) TXĐ: { } \ 1;1 D = −  . Ta có:

2 2

2

2

2 1 2 lim lim lim 0 0 1 1 1

x x x x x x y y x x

→±∞ →±∞ →±∞

− − = = = ⇒ = − −

là tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số.

Mặt khác

1 lim x y → = ∞ và

( )1 lim x y →− = ∞ nên 1 x = và 1 x = − là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: { } \ 1;4 D =  .

Ta có: ( )( )

2

1 1 2 5 1 lim lim 1 4 + + → → + + = = −∞ − − x x x x y x x (hoặc ( )( )

2

1 1 2 5 1 lim lim 1 4 x x x x y x x − − → → + + = = +∞ − − ) nên đường thẳng 1 x = là

tiệm cận đứng của (C).

Tương tự đường thẳng 4 x = cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lại có:

2 2

2

2

5 1 2 2 5 1 lim lim lim 2 5 4 5 4 1 x x x x x x x y x x x x

→±∞ →±∞ →±∞

+ + + + = = = − + − +

nên đường thẳng 2 y = là tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau

a) 2 3 2 . 1 x x y x + − = −

b)

2

2 4 3 . 7 4

x x y x

− + = + −

Lời giải

a) TXĐ: [ ) { } 3; \ 1 . D = − +∞ ±

Ta có: 2 3 2 lim lim 0 0 1 x x x x y y x →+∞ →+∞ + − = = ⇒ = −

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác ( )( )

( )( )

( )( )

2

2 1 1 1 1

1 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 lim lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x

x x x x x x x x x x y x x x x x → → → →

− + + − + − + + + + = = = − + − + −

( )( ) 1 3 4 7 lim 1 8 1 3 2 x x x x x x → + = − = − ⇒ = + + +

không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có:

( ) ( ) 2 1 1 3 2 lim lim 1 1 x x x x y x x →− →− + − = = ∞⇒ = − − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: . D =  Ta có:

2

2 4 3 lim lim 7 4 x x x x y x →±∞ →±∞ − + = = +∞⇒ + −

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.