Kỹ thuật truy ngược hàm giải bài toán liên quan đến hàm hợp - Lương Văn Huy

CÁC CHUYÊN ĐỀ CHINH PHỤC 9+ TOÁN- CĐ: TRUY NGƯỢC HÀM

ę Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - Ø 0909127555

TÀI LIỆU NỘI BỘ

1/75

KỸ THUẬT TRUY NGƯỢC HÀM

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

œ Đặc điểm bài toán

Cho hàm số  y f x  . Biết dữ kiện của hàm số  y f u x     hoặc  y f u x      . Hỏi kết luận về hàm

 y f v x     .

} Thường các bài toán dạng này làm đa số các em học sinh rất bối rồi và dễ rơi vào vòng luẩn quẩn khi giải quyết và tìm ra hướng giải, đặc biệt rất dễ nhầm lẫn.

} Các em lưu ý đây không phải là “hàm ngược”. Tên gọi truy ngược hàm cho dễ hình dùng, thực chất nó là bài toán hàm hợp khi cho nhiều loại hàm hợp khác nhau

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ì Dạng 1: Truy ngược liên quan đơn điệu

ʢ Bài toán:

Cho hàm số  y f x  . Biết dữ kiện của hàm số  y f u x     hoặc  y f u x      . Khảo sát sự đơn điệu

của hàm  y f v x     .

ʼn Phương pháp:

n c 1: Đạo hàm xét dấu thông thường.

n c 2: Đặt ẩn phụ

n c 3: Song Trục

n c 4: Sơ đồ V

n c 5: Truy ngược

n c 6: Ghép trục

n c 7: Chọn hàm

Ví dụ minh họa

ż Ví dụ 1: (Lớp live 9+ Toán Thầy Huy) Cho hàm số  y f x  có đạo hàm liên tục trên và có

đồ thị hàm số  1 y f x    như hình vẽ

Hàm số   2 1 y f x   đồng biến trên khoảng

Ⓐ.   ; 1  . Ⓑ.   0;1 . Ⓒ.   2;. Ⓓ.   2;0  .

CÁC CHUYÊN ĐỀ CHINH PHỤC 9+ TOÁN- CĐ: TRUY NGƯỢC HÀM

ę Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - Ø 0909127555

TÀI LIỆU NỘI BỘ

2/75

ÑLời giải

Cách 1: Đạo hàm xét dấu cơ bắp tay to

Xét   2 1 y f x   ta có

    

2

2 0 2 . 1 0 1 0, 1

x y x f x f x

          

.

Từ đồ thị hàm số   

3

1 0 1 1

x

y f x f x x x

           

, trong đó 3 x là nghiệm bội chẵn.

Khi đó 

2

2

2

2 1 3

1 1 1 2

0 1 1

x x

x x

x x

                    

, trong đó chỉ có 2 x  là nghiệm bội lẻ.

Dấu y

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 2  và   0; 2 .

Cách 2: Song trục đại pháp

Ta có song trục

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 2  và   0; 2 .

Cách 3: Đặt ẩn phụ

Xét   2 1 y f x   ta có

    

2

2 0 2 . 1 0 1 0, 1

x y x f x f x

          

.

Đặt 2 1 1 x t  khi đó ta có

f (x2 - 1)

f '(x - 1) +∞

+∞ - 2 2 0

2 1 0

CÁC CHUYÊN ĐỀ CHINH PHỤC 9+ TOÁN- CĐ: TRUY NGƯỢC HÀM

ę Gv: Lương Văn Huy – Ngọc Hồi – Thanh Trì – HN - Ø 0909127555

TÀI LIỆU NỘI BỘ

3/75



2

2

2

2 1 2 1

1 1 0 1 2

0 1 2 1

x x

x x

x x

                     

.trong đó chỉ có 2 x  là nghiệm bội lẻ.

Dấu y

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 2  và   0; 2 .

Cách 4: Chọn hàm cơ bắp

Chọn         1 2 1 1 f x x x f x x x         

Xét   2 1 y f x   ta có

    2 2 2 0 2 . 1 2 2 0

2

x y x f x x x x

x

          

.

Dấu y

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 2  và   0; 2 .

Cách 5: Ghép trục đại pháp

Đặt 2 1 u x  ta có bảng ghép trục thu gọn

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 2  và   0; 2 .