Ứng dụng một số tích chất đặc biệt của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình là một mảng kiến thức khá

quan trọng của chương trình toán THPT, nó đóng vai trò quan trọng trong việc rèn

luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh, chính vì thế bài tập phương

trình, bất phương trình, hệ phương trình xuất hiện nhiều trong các kỳ thi TN THPT

và kỳ thi HSG cấp tỉnh. Các kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình rất phong

phú và đa dạng. Tuy nhiên, kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt của hàm số có rất nhiều

ưu thế trong việc giúp các em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ

môn Toán, và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy vì thế tôi viết chuyên

đề ‘‘Ứng dụng một số tích chất đặc biệt của hàm số để giải phương trình, bất

phương trình ’’.

1. Cơ sở lý thuyết

1.1. Kiến thức cần nắm

1.1.1. Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số  f x xác định trên tập D .

Hàm số  f x được gọi là hàm số chẵn trên tập D nếu   , .

x D x D

f x f x x D

      

Hàm số  f x được gọi là hàm số lẻ trên tập D nếu   , .

x D x D

f x f x x D

      

1.1.2. Một số kết quả thường dùng

Định lí 1

Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu  ' 0 f x x K  thì hàm số  y f x  đồng biến trên K .

Nếu  ' 0 f x x K  thì hàm số  y f x  nghịch biến trên K .

Lưu ý: Nếu    ' 0 ; f x x a b  và hàm số  y f x  liên tục trên đoạn   ;a b thì

hàm số  y f x  đồng biến trên đoạn   ;a b .

Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực người học

Ứng dụng một số tích chất đặc biệt của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Ths NGUYỄN SỸ Giáo viên Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Tính chất 1. Cho hàm số f liên tục và đơn điệu trên khoảng K , khi đó

PT   f u f v u v    với

. u K

v K     Tính chất 2. Cho hàm số f liên tục và đồng biến trên khoảng K , khi đó

BPT   f u f v u v    với

. u K

v K     Tính chất 3. Cho hàm số f liên tục và nghịch biến trên khoảng K , khi đó

BPT   f u f v u v    với

. u K v K     Một số hàm số có một vài tính chất đặc biệt:

+) Với 1 a  hàm số 

x x f x a a   là hàm số lẻ, đồng biến trên .

+) Với 1 a , hàm số 

x

x a f x

a a   đồng biến trên , và thỏa mãn

   1 1 . f x f x x    

+) Với , 1 a b , hàm số 

1 log x x a f x x b b    đồng biến trên khoảng   0; và thỏa mãn

 1 0 f f x x x        .

+) Với 1 a  hàm số  2 2 loga f x x x a    đồng biến trên  và thỏa mãn

   1 f x f x    x .

+) Với , 0 a b  , hàm số      2 ln 1 x x f x a e e b x x       là hàm số lẻ, đồng biến trên .

+) Hàm số 

2 1 f x x x    đồng biến trên  và thỏa mãn    . 1 . f x f x x  

Việc chứng minh các tính chất trên khá đơn giản (xin dành cho bạn đọc).

2. Bài tập áp dụng:

Câu 1. Cho hàm số  2021 2021 x x f x    . Giá trị nguyên lớn nhất của m để

   2 2019 0 f m f m    là

A. 673  . B. 674  . C. 673. D. 674 . Lời giải Chọn B Ta có  ' 2021 ln 2021 2021 ln 2021 0, x x f x x     , suy ra hàm số  f x đồng biến trên

. Do   , f x f x x      hàm số  f x là hàm số lẻ trên .

BPT:

      

2 2019 0 2 2019 ( )

2 2019 ( )

2 2019

f m f m f m f m

f m f m

m m

     

   

   3 2019 673 m m     . Vậy giá trị nguyên lớn nhất của m là 674  .

