Bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

ĐƠN ĐIỆU-GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊNHỎNHẤT-TƯƠNG GIAO

CHỨA TRỊTUYỆT ĐỐI

A ĐƠN ĐIỆU CHỨA TRỊTUYỆT ĐỐI

Câu 1. Cho hàm sốy = |x3 −mx + 1| . Gọi S là tập tất cảcác sốtựnhiên m sao cho hàm số

đồng biến trên [1; +∞). Tính tổng tất cảcác phần tửcủa S .

A 3. B 1. C 9. D 10.

Lời giải.

Xét hàm sốy = x3 −mx + 1 , y′ = 3x2 −m.

TH1: ∆′ = 3m ≤0 ⇒y′ ≥0 ∀x ≥1 hàm sốy = x3 −mx + 1 luôn đồng biến trên (1; +∞).

Vậy trong trường hợp này đểthỏa yêu cầu bài toán ⇔

 



m ≤0

y(1) ≥0 ⇔m ≤0 ⇔m = 0

(vì m là sốtựnhiên).

TH2: ∆= 3m > 0 ⇒y′ = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2).

O x

y

2

Khi đó yêu cầu bài toán ⇔y′ ≥0 ∀x ≥1 ⇔

 



x1 < x2 ≤1

y(1) ≥0 ⇔

 



m > 0

2 −m ≥0 ⇔0 < m ≤2 ⇔m = {1, 2}

Vậy m = {0, 1, 2} thỏa yêu cầu của bài toán. Tồng các phần tửcủa S là 3 .

Cách 2: Xét f(x) = x3 −mx+1 ta có lim x→+ ∞f(x) = + ∞nên hàm sốy = | x3 −mx + 1 | = |f(x)| đồng

biến trên [1 ; +∞) khi và chỉkhi hàm sốy = f(x) nhận giá trịkhông âm và đồng biến trên [1 ; +∞) .

⇔

 



f ′(x) = 3x2 −m ≥0 , ∀x ∈[1 ; +∞)

f(1) = 2 −m ≥0 ⇔

 



3 −m ≥0

2 −m ≥0 ⇔m ≤2

Kết hợp điều kiện m là sốtựnhiên ta có m = {0 ; 1 ; 2}. Tồng các phần tửcủa S là 3.

Chọn phương án A □

Câu 2. Cho hàm sốf(x) = x2 −2(m + 1)x + 1 −m

Có bao nhiêu giá trịnguyên của tham sốm đểhàm sốy = |f(x)| đồng biến trên khoảng (−1; 1)

?

A 3. B 5. C 8. D Vô số.

Lời giải.

Xét f(x) = x2 −2(m + 1)x + 1 −m, ∆′ = m2 + 3m

TH1: ∆′ ≤0 ⇔m ∈[−3; 0]

Trang 1

y = |f(x)| = f(x), khi đó hàm sốđồng biến trên khoảng (m + 1; +∞)

Hàm sốđồng biến trên khoảng (−1; 1) khi m + 1 ≤1 ⇔m ≤−2

Kết hợp m ∈[−3; 0] ⇒m ∈[−3; −2] (1)

TH2: ∆′ ≥0 ⇔m ∈(−∞; −3) ∪(0; +∞) . Khi đó f(x) có 2 nghiệm x1; x2(x1 < x2)

O x

y

2

Đểhàm sốđồng biến trên (−1; 1) trong hai trường hợp sau

+TH1: x1 ≤−1 < 1 ≤m + 1 ⇔m + 1 − √

m2 + 3m ≤−1 < 1 ≤m + 1 ⇔

 



m ≥0

m ≤−4 ⇔m ∈∅

+TH2: x2 ≤−1 ⇔m + 1 + √

m2 + 3m ≤−1 ⇔ √

m2 + 3m ≤−m −2

⇔m ≥−4

Kết hợp m < −3 ⇒m ∈[−4; −3) (2)

Từ(1) và (2) có 3 giá trịnguyên của m.

Chọn phương án A □

Câu 3. Có bao nhiêu giá trịnguyên không âm m đểhàm sốy = |x4 −mx2 + 9| đồng biến trên

khoảng (1; +∞).

A 3. B 6. C 7. D 4.

Lời giải.

Ta có y =

 



x4 −mx2 + 9 x4 −mx2 + 9 ≥0

−x4 + mx2 −9 x4 −mx2 + 9 < 0

Nên y′ =

 



4x3 −2mx x4 −mx2 + 9 ≥0

−4x3 + 2mx x4 −mx2 + 9 < 0

Yêu cầu bài toán tương đương với

 



4x3 −2mx ≥0

x4 −mx2 + 9 ≥0 , ∀x > 1 hoặc

 



−4x3 + 2mx ≥0

x4 −mx2 + 9 < 0 , ∀x > 1

TH1:

 



4x3 −2mx ≥0

x4 −mx2 + 9 ≥0 , ∀x > 1 ⇔

  

 

m ≤2x2

m ≤x2 + 9

x2 , ∀x > 1 ⇔

  

 

m ≤2x2

m ≤x2 + 9

x2 , ∀x ≥1

⇔m ≤2 ⇒m ∈{0; 1; 2}

TH2:

 



−4x3 + 2mx ≥0

x4 −mx2 + 9 < 0 , ∀x > 1 ⇒Hệnày vô nghiệm vì khi x →+∞thì x4 −mx2 + 9 →+∞.

Chọn phương án A □

Câu 4. Có bao nhiêu sốnguyên dương m đểhàm sốy = |x5 −mx + 4| đồng biến trên khoảng

(1; +∞) .

Trang 2

A 4. B 5. C 6. D 7.

Lời giải.

Ta có: y =

 



x5 −mx + 4 khi x5 −mx + 4 ≥0

−x5 + mx −4 khi x5 −mx + 4 < 0 ; y′ =

 



5x4 −m khi x5 −mx + 4 ≥0

−5x4 + m khi x5 −mx + 4 < 0

TH1: y′ =

 



5x4 −m ≥0

x5 −mx + 4 ≥0 , ∀x ≥1 ⇔

  

 

m ≤5x4

m ≤x4 + 4

x

, ∀x ≥1 ⇔

 



m ≤5

m ≤1 + 4 ⇔m ≤5.

TH2: y′ =

 



−5x4 + m ≥0

x5 −mx + 4 < 0 , ∀x ≥1. Hệvô nghiệm vì lim x→+∞(x5 −mx + 4) = +∞.

Vậy

 



m ≤5

m ∈Z+ ⇒m ∈{1, 2, 3, 4, 5} .

Chọn phương án B □

Câu 5. Có bao nhiêu giá trịnguyên của m đểhàm sốy = x −m x + m + 1

đồng biến trên khoảng

(0 ; +∞) ?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Đặt f(x) = x −m x + m + 1 ⇒f ′(x) = 2m + 1 (x + m + 1)2.

Ta có

y = |f(x)| ⇒y′ = (|f(x)|)′ = f ′(x).f(x)

|f(x)|

Hàm sốy = x −m x + m + 1

đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) ⇔f ′(x).f(x) > 0 , ∀x ∈(0 ; +∞)

⇔





 



f ′(x) < 0

f(x) < 0 , ∀x ∈(0 ; +∞)  



f ′(x) > 0

f(x) > 0 , ∀x ∈(0 ; +∞)

⇔





    

   

2m + 1 < 0

f(0) ≤0

−m −1 /∈(0 ; +∞)     

   

2m + 1 > 0

f(0) ≥0

−m −1 /∈(0 ; +∞)

⇔





        

       

m < −1

2 

m ≥0

m < −1

m ≥−1      

    

m < −1

2 −1 < m ≤0

m …