Phương pháp hàm số giải bài toán GTLN - GTNN và bất đẳng thức hai biến số

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

SĐT: 0935.785.115

Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà

Hoài niệm Tự luận:

KHảO SáT HàM Số

MộT Số BàI TOáN MAX MIN

Huế, tháng 8/2020

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_1

Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Kỹ thuật 1: Thế biến đưa về khảo sát hàm một biến Bước 1: Rút 1 biến biểu diễn theo biến kia. Xác định miền giá trị của biến được rút. Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết. Khảo sát và đưa ra kết luận. Bài tập 1: Cho , x y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 0, 12 0 y x x y      . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 17 P xy x y     . Bài giải: Từ giả thiết ta có:   2 12 0 4;3 y x x x       .

Khi đó:     2 2 3 2 12 12 17 3 9 7. P x x x x x x x x x            

Xét hàm số    3 2 3 9 7, 4;3 f x x x x x      , ta có:  / 2 1 3 6 9 0 3 x f x x x x

       

.

Ta có:       4 13, 3 20, 1 12, 3 20 f f f f       .

Suy ra:

      4;3 max 3 3 20 f x f f      ,

   4;3 min 1 12. f x f   

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 12  đạt được tại     ; 1; 10 x y   .

Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho , x y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 x y   . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức     2 2 2 2 1 3 P x y x y       .

Bài giải: Từ giả thiết ta có: 2 2 y x   . Thay vào biểu thức P ta có:

Khi đó: 2 2 5 4 1 5 20 25 P x x x x     

Xét hàm số 

2 2 5 4 1 5 20 25 f x x x x x      , ta có:

 /

2 2 5 2 5 10

5 4 1 5 20 25

x x f x

x x x x

       

.

     / 2 2 0 5 2 5 20 25 10 5 5 4 1 f x x x x x x x         

  

      2 2 2 2

2

2 5 2 10 5 0 ;2 2 5 . 3 5 2 5 20 25 10 5 5 4 1 24 16 0

x x x

x x x x x x x x x

                                

Từ đó suy ra:  2 2 5 3 P f x f         

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 5 đạt được tại   2 2 ; ; 3 3 x y        

.

Bài tập 3: Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 a b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 3 1 2 2 40 9 P a b     . Bài giải: Từ giả thiết ta có:   1 0 0;1 a b b     .

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_2

Khi đó:  

2 2 3 1 2 1 2 40 9 P b b     

Xét hàm số      2 2 3 1 2 1 2 40 9 , 0;1 f b b b b       , ta có:

     / 2 2

2 2 6 1 18 0 1 9 40 3 2 4 3 2 4 3 9 40

b b f b b b b b b b b b

            

.

         2 2 2 2 2 2 1 9 40 9 2 4 3 2 3 2 3 10 10 0 3 b b b b b b b b b b              

Từ đó suy ra:  2 5 11 3 P f b f         

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 11 đạt được tại   1 2 ; ; 3 3 a b      

.

Bài tập 4: Cho , a b là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 3 4   a b . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1 1     a b P a b .

Bài giải:

Ta có: 3 4 4 3 a b a b      . Do ,a b không âm nên 4 0 3. b  

Khi đó: 4 3 3 1 3 4 5 3 1 5 3 1 b b P b b b b           .

Xét hàm số  1 3 4 4 0 5 3 1 3 , ; . f b b b b

          

Ta có: 

 

     2 2

2

1 3 3 0 5 3 1 1 3 5 3

/ / ; b f b f b b b b b b

            

.

Lập BBT ta suy ra GTLN của P là 4

5 , đạt được khi 0 4 , b a   ; GTNN của P là 2, đạt được khi

1 1 , . a b  

Bài tập 5: Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 3 0    x xy và 2 3 14 x y   . Tìm

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 3 2 1     P x y xy x x .

Bài giải:

Từ giả thiết suy ra:

2 2

2

3 3

9 3 1 2 3 14 5 ; .

x x y y x x

x x x x

            …