Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Trang 1/28

CHỦ ĐỀ 6. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Xét hàm số bậc ba ( ) 3 2 0 y ax bx cx d a = + + + ≠ có đồ thị ( ) C và hàm số bậc nhất

y kx n = + có đồ thị d . Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và d : 3 2 (1) ax bx cx d kx n + + + = +

Phương trình ( ) 1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm. Ta có 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: Phương trình ( ) 1 có “nghiệm đẹp” 0x .

Thường thì đề hay cho nghiệm 0 0; 1; 2;... = ± ± x thì khi đó:

( )( ) ( )

0 2 0 2 0 (1) 0 0 2

x x x x Ax Bx C Ax Bx C

− =  ⇔ − + + = ⇔ + + = 

Khi đó: + ( ) C và d có ba giao điểm ⇔phương trình ( ) 1 có ba nghiệm phân biệt ⇔phương trình

( ) 2 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm 0x . (Đây là trường hợp thường gặp)

+ ( ) C và d có hai giao điểm ⇔phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt ⇔phương trình

( ) 2 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm 0x hoặc phương trình ( ) 2 có nghiệm

kép khác 0x .

+ ( ) C và d có một giao điểm⇔phương trình ( ) 1 có một nghiệm ⇔phương trình ( ) 2 vô

nghiệm hoặc phương trình ( ) 2 có nghiệm kép là 0x .

• Trường hợp 2: Phương trình ( ) 1 không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi

phương trình ( ) 1 sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số

m nằm bên vế phải, nghĩa là ( ) 1 ( ) ( ) f x g m ⇔ = .

Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số ( ) = y f x và biện luận số giao điểm của ( ) C và

d theo tham số m . 2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị 3 2 ( ) : 3 2 1 C y x x x = − + + và đường thẳng 1 y = . Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 2 3 2 1 1 3 2 0 x x x x x x − + + = ⇔ − + =

0 1 2

x x x

=   ⇔ =  = 

. Vậy có

ba giao điểm ( ) ( ) ( ) 0;1 , 1;1 , 2;1 . A B C

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 2 8 y mx x x m = − − + có đồ thị là ( ) m C . Tìm m đồ thị ( ) m C cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 2 8 0 mx x x m − − + = (1)

⇔( ) 2 2 (2 1) 4 0 x mx m x m   + − + + =   ⇔ 2 2

(2 1) 4 0 (2)

x

mx m x m

= −   − + + = 

( ) m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔( ) 1 có ba nghiệm phân biệt.

⇔( ) 2 có hai nghiệm phân biệt khác 2 −

Trang 2/28

⇔ 2 0

12 4 1 0

12 2 0

m

m m

m

≠  ∆= − + + >   + ≠ 

⇔

0 1 1 6 2 1 6

m

m

m

  ≠ − < <    ≠− 

⇔

0 1 1 6 2

m

m

≠ − < < 

.

Vậy { } 1 1 ; \ 0 6 2   ∈−     m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 1 1 = − + − + y x mx m x có đồ thị ( ) C . Tìm m để đường thẳng

: 1 d y x = −+ cắt đồ thị ( ) C tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và d :

( ) ( ) ( )

3 2 2 2 0 2 3 1 1 1 2 3 0 2 3 0 *

=  − + − + = −+ ⇔ − + = ⇔ − + = 

x x mx m x x x x mx m x mx m

Yêu cầu bài toán ( ) * ⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 0

2 9 8 0

0

m m

m

∆= − > ⇔ ≠ 

( ) 8 ;0 ; 9   ⇔ ∈−∞ ∪ +∞     m .

Vậy ( ) 8 ;0 ; 9   ∈−∞ ∪ +∞     m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 y x mx = + + cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

3 2 0 x mx + + = . Vì 0 x = không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

( ) 2 2 0 m x x x = − − ≠

Xét hàm số 2 2 ( ) f x x x = − − với 0 x ≠ , suy ra

3

2 2 2 2 2 '( ) 2 x f x x x x − + = − + = . Vậy

'( ) 0 1 f x x = ⇔ = . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất 3 m ⇔ > −. Vậy 3 m > − thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị ( ) C của hàm số 3 2 3 9 y x x x m = − − + cắt trục hoành tại ba điểm

phân biệt.

Hướng dẫn giải

x −∞ 0 1 +∞ ( ) f x ′ + + 0 –

( ) f x

−∞

+∞

−∞

3 −

−∞