Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trang 1/25

CHỦ ĐỀ 7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp.

Cho hàm số ( ) y f x = , gọi đồ thị của hàm số là ( ) C .

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) ( ) : C y f x = tại ( ) ; . o o M x y

 Phương pháp

o Bước 1. Tính ( ) y f x ′ ′ = suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là ( ) 0 k y x ′ = .

o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại điểm ( ) 0 0 ; M x y có dạng

( )( ) / 0 0 0 y y f x x x − = − .

 Chú ý:

o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x thì khi đó ta tìm

0y bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức ( ) 0 0 . y f x = Nếu đề cho 0y ta thay vào hàm số để

giải ra 0x .

o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị ( ) ( ) : C y f x = và

đường thẳng : . d y ax b = + Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành

độ giao điểm giữa d và ( ). C

 Sử dụng máy tính:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : . d y ax b = +

o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến ( ) 0 k y x ′ = . Nhập ( ) ( )

0 x x d f x dx = bằng cách nhấn

SHIFT ∫



 sau đó nhấn = ta được .a

o Bước 2: Sau đó nhân với X − tiếp tục nhấn phím + ( ) f x CALC o X x = nhấn phím = ta

được b.  Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 3 2 3 : C y x x = + . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại điểm ( ) 1;4 M

là A. 9 5. y x = − + B. 9 5. y x = + C. 9 5. y x = − − D. 9 5. y x = − Hướng dẫn giải Ta có 2 ' 3 6 y x x = + ( ) 1 9 k y′ ⇒ = = . Phương trình tiếp tuyến tại ( ) 1;4 M là

( )( ) ( ) 0 0 0 : 9 1 4 9 5 d y y x x x y x x ′ = − + = − + = − . Chọn đáp án D.

 Sử dụng máy tính:

o Nhập ( ) 3 2 1 3 x d X X dx = + nhấn dấu = ta được 9.

o Sau đó nhân với ( ) X − nhấn dấu + 3 2 3 X X + CALC 1 X = = ta được 5 −.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là 9 5 y x = − .

Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2 2 6 5 y x x = − + −. Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm M thuộc ( ) C

và có hoành độ bằng 3. A. 18 49. y x = − + B. 18 49. y x = − − C. 18 49. y x = + D. 18 49. y x = − Hướng dẫn giải Ta có 2 6 12 y x x ′ = − + . Với ( ) 0 0 3 5 3; 5 x y M = ⇒ = −⇒ −

và hệ số góc ( ) 3 18 k y′ = = − . Vậy

phương trình tiếp tuyến tại M là ( ) 18 3 5 18 49 y x x = − − − = − + . Chọn đáp án A.

Trang 2/25

 Sử dụng máy tính:

o Nhập ( ) 3 2 3 2 6 5 x d X X dx = − + − nhấn dấu = ta được 18 − .

o Sau đó nhân với ( ) X − nhấn dấu + 3 2 2 6 5 X X − + − CALC 3 X = nhấn dấu = ta được

49 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là 18 49. y x = − +

Ví dụ 3. Cho hàm số ( )

4 2 1 : 2 4 C y x x = − . Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm M có hoành

độ 0 0, x > biết ( ) 0 1 y x ′′ = − là

A. 3 2. y x = − − B. 3 1. y x = − + C. 5 3 . 4 y x = − + D. 1 3 . 4 y x = − +

Hướng dẫn giải Ta có 3 4 y x x ′ = − , 2 3 4 y x ′′ = − . Mà ( ) 0 1 y x ′′ = − 2 0 3 4 1 x − = − ⇒ 2 0 1 x ⇔ = 0 1 x ⇔ = (vì 0 0 x > ).

Vậy 0 7 4 y = − , suy ra ( ) 1 3 k y′ = = −. Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là

( ) 7 5 : 3 1 3 4 4 d y x y x = − − − ⇒ = − + ⋅Chọn đáp án C.

 Sử dụng máy tính:

o Nhập 4 2

1

1 2 4 x

d X X dx =

  −    

nhấn dấu = ta được 3 −.

o Sau đó nhân với ( ) −X nhấn dấu + 4 2 1 2 4 X X − CALC 1 X = = ta được

5 4 .

Vậy phương trình tiếp tuyến là 5 : 3 4 d y x = − + ⋅

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) ( ) : C y f x = có hệ số góc k cho

trước.  Phương pháp

o Bước 1. Gọi ( ) 0 0 ; M x y là tiếp điểm và tính ( ) y f x ′ ′ = .

o Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là ( ) 0 ' k f x = . Giải phương trình này tìm được 0, x thay vào hàm

số được 0. y

o Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

( )( ) 0 0 0 : d y y f x x x ′ − = −

 Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến // : d y ax b ∆ = + ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là . k a =

• Tiếp tuyến ( ) : , 0 d y ax b a ⊥∆ = + ≠ ⇔ hệ số góc của tiếp tuyến là 1 k a = − ⋅

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là tan . k α = ±

 Sử dụng …