Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

Trang 1/25

CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong Xét họ đường cong ( ) m C có phương trình ( , ) y f x m = , trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?  Phương pháp giải:

o Bước 1: Đưa phương trình ( , ) y f x m = về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:

0 Am B + = hoặc 2 0 Am Bm C + + = . o Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

0 0 A B =   = 

hoặc

0 0 0

A B C

=   =   = 

.

o Bước 3: Kết luận

 Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong ( ) m C không có điểm cố định.  Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của ( ) m C . II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong ( ) C có phương trình ( ) y f x = (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.  Phương pháp giải:

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số. o Bước 2: Lí luận để giải bài toán. III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong ( ) C có phương trình ( ) y f x = . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng. Bài toán 1: Cho đồ thị ( ) 3 2 : C y Ax Bx Cx D = + + + trên đồ thị ( ) C tìm những cặp điểm đối

xứng nhau qua điểm ( , ) I I I x y .  Phương pháp giải:

 Gọi ( ) ( ) 3 2 3 2 ; , ; M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D + + + + + + là hai điểm trên ( ) C đối xứng

nhau qua điểm I .

 Ta có ( ) ( ) 3 3 2 2 2

( ) 2 2

I

I

a b x

A a b B a b C a b D y

+ =  + + + + + + = 

.

Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ M, N. Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( ) 3 2 : C y Ax Bx Cx D = + + + . Trên đồ thị ( ) C tìm những cặp

điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.  Phương pháp giải:

 Gọi ( ) ( ) 3 2 3 2 , , , M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D + + + + + + là hai điểm trên ( ) C đối xứng

nhau qua gốc tọa độ.

 Ta có ( ) ( ) 3 3 2 2 0

( ) 2 0

a b

A a b B a b C a b D

+ =  + + + + + + = 

.

 Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ , M N .

Trang 2/25

Bài toán 3: Cho đồ thị ( ) 3 2 : C y Ax Bx Cx D = + + + trên đồ thị ( ) C tìm những cặp điểm đối

xứng nhau qua đường thẳng 1 1 : d y A x B = + .  Phương pháp giải:

 Gọi ( ) ( ) 3 2 3 2 ; , ; M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D + + + + + + là hai điểm trên ( ) C đối xứng

nhau qua đường thẳng d .

 Ta có:

(1)

. 0 (2) d

I d

MN u

∈  =   (với I là trung điểm của MN và d u 

là vectơ chỉ phương của

đường thẳng d ).  Giải hệ phương trình tìm được M, N. IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

1. Lí thuyết:

Loại 1. Cho hai điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ; ; ; P x y Q x y PQ x x y y ⇒ = − + − .

Cho điểm ( ) 0 0 ; M x y và đường thẳng : 0 d Ax By C + + = , thì khoảng cách từ M đến

d là ( )

0 0

2 2 ; Ax By C h M d A B

+ + = +

.

Loại 2. Khoảng cách từ ( ) 0 0 ; M x y đến tiệm cận đứng x a = là 0 h x a = − .

Loại 3. Khoảng cách từ ( ) 0 0 ; M x y đến tiệm cận ngang y b = là 0 h y b = − .

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong ( ) C nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng. 2. Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ( ) 0, 0 ax b c ad bc cx y d + ≠ − ≠ + = có đồ thị ( ) C . Hãy tìm trên ( ) C hai

điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.  Phương pháp giải:

 ( ) C có tiệm cận đứng d x c = − do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía

của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số , α β là hai số dương.

 Nếu A thuộc nhánh trái thì A A d d d x x c c c α < − ⇒ = − − < − ; ( ) A A y f x = .

 Nếu B thuộc nhánh phải thì B B d d d x x c c c β > − ⇒ = − + > − ; ( ) B B y f x = .

 Sau đó tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B A B A B A AB x x y y a a y y β α = − …