Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vấn đề1. TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1. Định nghĩa:

Hàm sốy = f(x) xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K và ∀x1, x2 ∈K.

• Hàm sốy = f(x) gọi là đống biến (tăng) trên K nếu x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x1).

• Hàm sốy = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x1).

2. Điều kiện cần đểhàm sốđơn điệu:

Giảsửhàm sốy = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu hàm sốđồng biến trên khoảng K thì f ′(x) ≥0, ∀x ∈K.

• Nếu hàm sốnghịch biến trên khoảng K thì f ′(x) ≤0, ∀x ∈K.

3. Điều kiện đủđểhàm sốđơn điệu.

Giảsửhàm sốy = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu f ′(x) > 0, ∀x ∈K thì hàm sốđồng biến trên khoảng K.

• Nếu f ′(x) < 0, ∀x ∈K thì hàm sốnghịch biến trên khoảng K.

• Nếu f ′(x) = 0, ∀x ∈K thì hàm sốkhông đổi trên khoảng K.

Chú ý.

• Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổsung giảthiết “Hàm sốy = f(x) liên tục trên

đoạn hoặc nửa khoảng đó.” Chẳng hạn: Nếu hàm sốy = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm

f ′(x) > 0, ∀x ∈(a; b) thì hàm sốđồng biến trên đoạn [a; b].

• Nếu f ′(x) ≥0, ∀x ∈K (hoặc f ′(x) ≤0, ∀x ∈K) và f ′(x) = 0 chỉtại một sốđiểm hữu hạn của K thì

hàm sốđồng biến trên khoảng trên K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm sốy = f(x)

• Tìm tập xác định

• Tính y′

• Tìm nghiệm y′ = 0 hoặc tại đó đạo hàm không xác định.

• Lập bảng biến thiên

• Dựa vào bảng biến và kết luận

Ví dụ1. Xét tính đơn điệu của hàm sốy = x3 + 3x2 + 2.

Lời giải.

1

Tập xác định D = R

y′ = 3x2 + 6x; y′ = 0 ⇔



x = 0

x = −2

• Hàm sốđồng biến trên khoảng (−∞; −2) và (0; +∞)

• Hàm sốnghịch biến trên khoảng (−2; 0)

x

y′

y

−∞ −2 0 +∞

+ 0 − 0 +

−∞ −∞

6

2

−∞ −∞

Ví dụ2. Xét chiều biến thiên của hàm sốy = x3 −3x2 + 3x −1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ3. Xét sựđồng biến và nghịch biến của hàm sốy = −x3 + 2x2 −4x + 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …