Đồ thị hàm số y f&#039(x) - Phạm Văn Đức

Đồthịhàm sốy = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức

Mục lục

1 Mởđầu 2

2 Nội dung 3 2.1 Đồthịhàm sốy = f ′(x) và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Một sốkiến thức cần nhớ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Đồthịhàm sốy = f ′(x) và cực trịcủa hàm sốy = f(x) . . . . . . . 10 2.2.1 Một sốkiến thức cần nhớ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Một sốbài tập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Tài liệu tham khảo 19

1

Đồthịhàm sốy = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức

1 Mởđầu

Trong giải tích, đạo hàm là một công cụmạnh đểgiải quyết rất nhiều bài toán. Giữa hàm sốf(x) và đạo hàm của nó f ′(x) có nhiều mối liên hệchặt chẽ. Điển hình là sựđồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm sốngoài việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được thểhiện thông qua đồthị. Việc dựa vào đồthịcủa f ′(x) đểtìm ra được các tính chất của hàm sốf(x) đưa đến cho chúng ta những điều thú vịcũng như những bài toán hay.

Trong các đềthi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giảthiết là cho đồthịcủa hàm sốf ′(x) và yêu cầu chỉra các tính chất vềsựbiến thiên cũng như cực trịvà một sốtính chất khác của hàm sốf(x). Một yêu cầu mặc dù không phải mới mẻ nhưng giống như hầu hết các bài toán khác nếu học sinh không nắm vững các kiến thức liên quan và rèn luyện thường xuyên thì nó trởthành một yêu cầu khó.

2

Đồthịhàm sốy = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức

2 Nội dung

2.1 Đồthịhàm sốy = f ′(x) y = f ′(x) y = f ′(x) và tính đồng biến, nghịch biến của hàm sốy = f(x) y = f(x) y = f(x)

2.1.1 Một sốkiến thức cần nhớ

Định lý:1

Hàm sốy = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f ′(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm sốf(x) đồng biến (tăng) trên K.

b) Nếu f ′(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm sốf(x) nghịch biến (giảm) trên K.

Dựa vào đồthịhàm sốf ′(x) ta nhận thấy:

a) f ′(x) > 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồthịhàm sốf ′(x) nằm phía trên trục hoành.

b) f ′(x) < 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồthịhàm sốf ′(x) nằm phía dưới trục hoành.

Từđó ta có kết luận:

a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồthịhàm sốf ′(x) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm sốf(x) đồng biến (tăng).

b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồthịhàm sốf ′(x) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm sốf(x) nghịch biến (giảm).

2.1.2 Các ví dụ

Ví dụ1. Cho hàm sốy = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; e]. Đồthịhàm sốy = f ′(x) như hình vẽsau đây

x

y

O

y = f ′(x)

a b c d e

1Trang 6, sách giáo khoa Giải tích 12 - NXB Giáo dục.

3

Đồthịhàm sốy = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức

Hãy chỉra các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; e). Lời giải.

Trên các khoảng (a; b) và (c; d) đồthịhàm sốy = f ′(x) nằm phía dưới trục hoành, tức là f ′(x) < 0 nên trên hai khoảng này hàm sốy = f(x) nghịch biến. Trên các khoảng (b; c) và (d; e) đồthịhàm sốy = f ′(x) nằm phía trên trục hoành, tức là f ′(x) > 0 nên trên hai khoảng này hàm sốy = f(x) đồng biến. Nói một cách ngắn gọn, dựa vào đồthịhàm sốy = f ′(x) ta có thểbiết được dấu của f ′(x) đểtừđó kết luận được sựbiến thiên của hàm sốy = f(x). Trên đoạn [a; e], f ′(x) = 0 ⇔x = a, x = b, x = c, x = d, x = e. Ta lập được bảng biến thiên của hàm sốy = f(x) trên đoạn [a; e] như sau:

x

f ′(x)

f(x)

a b c d e

0 − 0 + 0 − 0 + 0

f(a) f(a)

f(b) f(b)

f(c) f(c)

f(d) f(d)

f(e) f(e)

Nhận xét: Khi dựa vào đồthịhàm sốy = f ′(x) ta có thểbiết được dấu của f ′(x) và những điểm mà tại đó f ′(x) = 0. Điều này giúp ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f(x). Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta cái nhìn trực quan hơn vềhàm sốy = f(x). Ví dụ2 (Đềtham khảo thi THPT Quốc gia …