Bài tập nâng cao chuyên đề hình học không gian

 BÀI TẬP ÔN THI HSG TOÁN 11  WEB: toanthaycu.com

GV: Trần Đình Cư –Zalo: 0834332133 1

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

(Dành cho giáo viên ôn thi học sinh giỏi, học sinh năng khiếu và chuyên toán)

 Câu 1: (HSG NAM ĐỊNH 2014-2015) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1, hai điểm M và N lần lượt nằm trên các đoạn AB và CD, sao cho BN DN  . a) Chứng minh rằng AD BC  . Tìm điểm I cách đều 4 đỉnh của tứ diện ABCD b) Khi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, gọi   là mặt phẳng chứa BN và song song

với . MC Tính chu vi thiết diện tạo bởi   và tứ diện ABCD

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của MN khi M, N thay đổi trên các đoạn AB và C . D

 Lời giải

a) +) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, suy ra ( ) DH ABC  .

Chứng minh được ( ) BC ADH BC AD    .

+) Trong (ADH) dựng đường trung trực của đoạn AD cắt DH tại I, suy ra IA=I . D (1)

Mặt khác IHA IHB IHC    suy ra IA IB IC   . (2)

Từ (1), (2) IA IB IC ID     hay I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện ABC . D

b) Trong mặt phẳng (DMC) kẻ NK//MC ( K DM  ) suy ra ( )  chính là (BNK).

Trong mặt phẳng (ABD) gọi P BK AD   suy ra ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam

giác BNP.

Vì M, K lần lượt là trung điểm của AB và DM 1 1 3 3 PD AD    .

Áp dụng định lý côsin trong các tam giác ; ; BDP PDN BDN    ta có 7 7 3 ; ; 3 6 2 PB PN BN    .

Vậy chu vi BNP  là 7 3 2 BNP C   .

c) +) Đặt BM x BA  , với 0 1 x   DN x DC   . Khi đó ta có: . BM x BA   

và . DN x DC   

.

Ta có: . ( ) . (1 ). DN x DC BN BD x BC BD BN x BC x BD                  

.

P

K

N

I

J

H

M B A

C

D

 BÀI TẬP ÔN THI HSG TOÁN 11  WEB: toanthaycu.com

GV: Trần Đình Cư –Zalo: 0834332133 2

Do đó: . (1 ). . MN BN BM x BC x BD x BA            

.

2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) . 2 . 2 (1 ) . MN x BC x BD x BA x x BC BD x BC BA x x BD BA            

2 2 2 1 x x   .

+) Xét 

2 2 2 1 f x x x    trên đoạn   0;1 , ta có:     1 1 max 0 1 1, min 2 2 f x f f f x f           

Vậy, MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C . D

MN đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi M B, N D hoặc M A, N  . C

 Câu 2: (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Cho hình hộp . ' ' ' '. ABCD A B C D Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và . B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( '). ACD

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P). b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

 Lời giải

a.

Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N.

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q.

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S.

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P.

Thiết diện là lục giác MNPQRS.

b. Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diện MNPQRS

song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

 Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

 ' ' ' MJ MA NC NK PC PK QD QI MN MB NB NM PC PQ QC QP         MJ=NK và PK=QI

 Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam

giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)

S

J

R

P

K

I

Q

F

E N O

C'

B'

A'

C

A

B

D

D'

M