Chuyên đề trắc nghiệm thể tích khối chóp

CHỦ ĐỀ 7: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức tính thể tích khối chóp: V = 1 . 3 S h

Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp.

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường

thẳng SC tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC bằng?

A.

3

8 a . B.

3

4 a . C.

3

2 a . D.

3 3 4 a .

Lời giải:

Chú ý: Nếu tam giác ABC đều cạnh a thì độ dài đường trung tuyến

bằng m = 3 2 a

Ta có:   ( ) (SC;(ABC)) 60 SA ABC SCA ⊥ ⇒ = = °

2

2 3

3 tan 60 tan 60 3,S A 4 1 1 3 . 3. 3 3 4 4

ABC

ABC

SA a SA AC a C a a V SA S a

⇒ ° = ⇒ = ° = =

⇒ = = =

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích V

của khối chóp S.ABCD

A. V

3 15 2 a = . B. V

3 15 6 a = . C. V

3 5 4 = a . D. V

3 15 18 a = .

Lời giải

Gọi H là trung điểm của ( ) AD AH ABCD ⇒ ⊥

Ta có:

2 2 5 2 2 a a BH a   = + =    

3 2 .

5 15 tan 60 . 3 2 2 1 1 15 15 . . .a 3 3 2 6 S ABCD ABCD

a a SH BH

a a V SH S

= ° = =

= = =

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, ( ) SA ABC ⊥ . Biết mặt phẳng ( ) SBC

tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là

A.

3 3 24 a . B.

3 3 8 a . C.

3 3 6 a . D.

3 3 18 a .

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC AM BC ⇒ ⊥ và 3 . 2 a AM =

Lại có:

  ( ) (( );( )) 60 ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = ° BC SA BC SMA SBC ABC SMA .

Khi đó

2 3 3 tan 60 ,S . 2 4 ABC a a SA AM = ° = =

Thể tích khối chóp là:

3 1 3 . 4 8 ABC a V SA S = = . Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BC= 3 a . Hình chiếu của đỉnh

S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AC. Biết SB tạo với đáy một góc 30°. Thể tích khối

chóp S.ABC là:

A.

3

2 a . B.

3

4 a . C.

3 3 6 a . D.

3

6 a .

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của ( ). AC AH ABC ⇒ ⊥

Khi đó   ( );( )) . SB ABC SBH = Ta

có: 2 2 2 . AC AB BC a = + =

Tam giác ABC có đường trung tuyến BH ứng với cạnh

huyền nên

. 2 AC BH a = = Do  30 tan30 . 3 a SBH SH HB = ° ⇒ = ° =

Lại có:

2 1 3 . 2 2 ABC a S BA BC = =

Suy ra:

2 3

. 1 1 3 .S . . . 3 3 2 6 3 S ABC ABC a a a V SH = = = Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB= 2a, AD= 3 a , cạnh bên SA

vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60°,

tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V=

3 2a . B. V= 3 4 3 a . C. V=

3 12a . D. V=

3 4a .

Lời giải:

Do   ( ) ( ;( )) 60 . ⊥ ⇒ = = ° SA ABCD SM ABCD SMA

Ta có: 2 2 2 AM AD DM a = + =

tan 60 2 3 SA AM a ⇒ = = .

Mặt khác 2 . 2 3 ABCD S AB AD a = = .

2 3 . 1.2 3.2 3 4 3 S ABCD V a a a = = . Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với

mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30°.Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V=

3 6 18 a . B. V= 3 3a . C. V=

3 6 3 a D. V=

3 3 3 a .

Lời giải: