Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhờ kĩ thuật dựng song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trong bài toán thuộc chủ đề khoảng cách thì ta thấy thường xuất hiện bài toán

tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Do đó, mình viết chuyên đề này để

giúp các thầy cô và các em học sinh có một hướng tiếp cận khi giải quyết bài toán này.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ:

1) Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

2) Nhận xét: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

3) Định hướng:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta thường sử dụng một trong hai hướng sau:

- Hướng 1: Sử dụng định nghĩa.

- Hướng 2: Sử dụng nhận xét trên.

4) Các kiến thức bổ trợ:

Chúng ta cần lưu ý một số định lý, tính chất và công thức sau:

- Đường thẳng song song với mp:

Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng   và d song song với đường thẳng

d nằm trong   thì d song song với mặt phẳng  .

Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực người học

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhờ kĩ thuật dựng song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

HOÀNG XUÂN BÍNH GV Trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

- Cách dựng mp mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a ( với a và b là hai đường thẳng chéo nhau):

+ Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

+ Cách dựng: Lấy điểm M bất kì thuộc a. Qua M kẻ đường thẳng b b  . Gọi   là

mặt phẳng xác định bởi a và b. Khi đó    , , b b b b b         .

- K/c đường thẳng và mp song song: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng  , kí hiệu là    ; d a  .

+ Nhận xét: nếu  AB   thì       ; ; d A d B   

- Công thức tỉ số khoảng cách:

Nếu       

; . ;

d A AI AB I BI d B

      

- Chú ý: Cho tam diện vuông đỉnh O có , , OA OB OC đôi một vuông góc.

Giả sử:     ; h d O ABC  và , , OA a OB b OC c    thì ta luôn có 2 2 2 2 1 1 1 1 h a b c   

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

(Phần chứng minh công thức này, đề nghị bạn đọc tự tìm hiểu và chứng minh lấy)

II. Nội dung chuyên đề: Để giúp học sinh và các thầy cô có một cách tiếp cận về loại bài tập này, tôi xin trình bày: Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhờ kĩ thuật dựng song song giữa đường với mặt.

a) Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chuyên đề này, chúng ta sử dụng phương pháp đường song song với mặt.

Cho ,a b là hai đường thẳng chéo nhau thì ta luôn có:      ; ; d a b d a P  với  b P 

và  a P  .

b) Các tính chất hình học phẳng thường được sử dụng:

- Loại 1: Khai thác tính chất hình bình hành ( hoặc trong các hình hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông): trong một hình bình hành thì hai cặp cạnh đối diện luôn song song với nhau.

- Loại 2: Khai thác tính chất đường trung bình của tam giác.

Chú ý:

+ Để khai thác tính chất đường trung bình trong tam giác, ta chú ý tới các yếu tố trung điểm có sẵn trong đề bài từ đó xây dựng thêm một trung điểm mới để thiết lập đường trung bình từ đó xác định được yếu tố song song mà ta sẽ chuyển đổi được khoảng cách giữa đường với đường về đường với mặt.

+ Với bài toán có liên quan tới bài toán về hình hộp hoặc lăng trụ tam giác thì ta chú ý một tính chất quen thuộc của lăng trụ là: tâm của các mặt bên cũng chính là trung điểm của hai đường chéo của mặt bên đó.

III. Bài tập minh họa:

Trong chuyên đề này, tôi xin chia các bài …