Bài giảng khối đa diện lồi và khối đa diện đều

TOANMATH.com Trang 1

CHỦ ĐỀ 5

BÀI 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết khái niệm khối đa diện lồi, đa diện đều.

+ Nhận biết năm khối đa diện đều.

+ Biết tính đối xứng qua mặt phẳng của các loại khối đa điện đều.

 Kĩ năng

+ Phân biệt được một hình vẽ có phải hình đa diện lồi hay không.

+ Biết số đỉnh, cạnh, mặt của năm khối đa diện đều.

+ Thành thạo đếm số mặt phẳng đối xứng, tâm đứng xối, trục đối xứng của các khối đa diện đều.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khối đa diện lồi

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối

hai điểm bất kì của khối đa diện thuộc khối đa diện.

Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi

Cho một khối tứ diện đều: Khi đó:

+) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một

khối tứ diện đều.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện

lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn

nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi

qua một mặt của nó.

Ví dụ:

TOANMATH.com Trang 2

+) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một

khối bát diện đều (khối tám mặt đều).

Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của

một khối bát diện đều.

Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của

một hình lập phương.

Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối

diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó.

Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối

bát diện đều. Khi đó:

+) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.

+) Ba đường chéo bằng nhau.

2. Khối đa diện đều

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:

+) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều n cạnh.

+) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng p mặt.

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại

  ;n p .

Các khối đa diện đều:

Tứ diện đều Khối lập phương

TOANMATH.com Trang 3

Định lí: Chỉ có năm loại khối đa điện đều.

Đó là loại      3;3 , 4;3 , 3;4 , 5;3 và   3;5 .

Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện đều

Khối đa diện đều Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt Loại Số MPĐX

Tứ diện

đều 4 6 4   3;3 6

Khối lập

phương 8 12 6   4;3 9

Bát diện

đều 6 12 8   3;4 9

Mười hai mặt

đều

20 30 12   5;3 15

Hai mươi mặt đều

12 30 20   3;5 15

Công thức Ơ-le: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh,

C là số cạnh, M là số mặt thì ta có: Đ – C + M = 2.

Tâm đối xứng của một hình: Nếu phép đối xứng qua tâm I

biến hình   H thành chính nó thì I là tâm đối xứng của hình

  H .

Mặt phẳng đối xứng của một hình: Nếu phép đối xứng qua

Khối bát diện đều Khối 12 mặt đều

Khối 20 mặt đều

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại

  ;n p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt. Khi

đó: p.Đ = 2C = n.M.

TOANMATH.com Trang 4

mặt phẳng  P biến hình   H thành chính nó thì  P là mặt

phẳng đối xứng qua hình   H .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Nhận diện đa diện lồi, đa diện đều

Phương pháp giải

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn

thẳng nối hai điểm bất kì của khối đa diện thuộc

khối đa diện.

Ví dụ:

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.

Hướng dẫn giải

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4

nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình hộp là đa diện lồi.

B. Tứ diện là đa diện lồi.

C. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép vào nhau là một hình đa diện lồi.

D. Hình lập phương là đa diện lồi.

Hướng dẫn giải

Các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện lồi.

Hai tứ diện (đều là các

đa diện lồi) nhưng khi

ghép với nhau có thể

không tạo thành một

hình đa diện lồi.