Chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng - Trần Mạnh Tường

CHUYÊN ĐỀ:

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Tác giả: Trần Mạnh Tường

Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì, lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong hình vẽ trên, ta có thể thấy      ; ; P Q n p 

2. Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng:

Có 3 phương pháp sau đây hay được sử dụng để tính giá trị góc giữa hai mặt phẳng. - Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. Kinh nghiệm: Muốn sử dụng được phương pháp này thì ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm đã cho của bài toán thì ta có thể xác định hoặc dựng được 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng mà bài toán yêu cầu tính góc giữa chúng hay không? - Phương pháp 2: Xác định góc. Ý tưởng của phương pháp này là ta dựng rõ hình hài của góc giữa hai đường thẳng, sau đó dùng các hệ thức lượng để tính giá trị của góc này. Kinh nghiệm: Cách này thường dùng khi 2 mặt phẳng có thể xác định được giao tuyến và có các yếu tố vuông góc. Có 2 loại phương pháp khi sử dụng phương pháp này. -) Phương pháp xác định góc loại 1:

Bước 1: Tìm giao tuyến  của hai mặt phẳng

Bước 2: Chọn 1 điểm I thích hợp trên , từ I ta dựng

2 đường thẳng, đường thẳng a nằm trên mặt phẳng  P

và vuông góc với , đường thẳng b nằm trên mặt phẳng  Q và vuông góc với .

Khi đó      ; ; P Q a b 

b

a

(Δ)

(P)

(Q) I

-) Phương pháp xác định góc loại 2:

Bước 1: Tìm giao tuyến  của hai mặt phẳng

Bước 2: Chọn 1 điểm M thích hợp nằm trên 1 trong 2 mặt phẳng, từ điểm M dựng hình chiếu vuông góc H đến mặt phẳng còn lại.

Bước 3: Dựng hình chiếu vuông góc I của điểm M hoặc điểm H đến giao tuyến .

Khi đó     ; P Q MIH 

- Phương pháp 3: Dùng khoảng cách. Cho hai mặt phẳng   P Q d   .

Từ  A P  , dựng  ; AK d AH Q   .

Khi đó   d AKH  nên     ; P Q AKH    .

Khi đó sin AH AK  , hay     

; sin ;

d A Q

d A d 

Bình luận: Phương pháp này có ưu điểm là ta không cần xác định rõ hình hài của góc giữa hai mặt phẳng, chỉ cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và điểm đến đường thẳng, các khoảng cách này lại cũng có thể tính thông qua tỉ số giữa diện tích tam giác với một cạnh hoặc tỉ số giữa thể tích một đa diện với diện tích của 1 mặt.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: (Phương pháp xác định góc loại 1) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh .a ' ' ' 2 . A A A B A C a    Gọi , M N lần lượt là trung điểm của ', '. BB CC Xác định cosin

của góc giữa   ' A BC và   ' . A MN

A. 3 15 . B. 8 3 . 15 C. 8 3 15  . D. 4 3 15 Lời giải

Chọn B

Phân tích: Rõ ràng hai mặt phẳng   ' A BC và   ' A MN có điểm chung là ' A và có , BC MN là

2 đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng có thể xác định dễ dàng. Từ đó ta đi theo ý tưởng sử dụng phương pháp “ xác định góc”. Lại do các tam giác như ' , ' , ' ' ' A BC A MN A B C là các tam giác cân nên từ ' A ta có thể thấy xuất hiện nhiều đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến. Từ đó ta có thể lựa chọn “Phương pháp xác định góc loại 1”

Gọi K là trung điểm của . BC Do tam giác ABC đều và tam giác A BC  cân tại A nên

(Δ)

(P)

(Q)

M

I H

P

Q

d

α A

H

K