Bài tập vận dụng min - max hình học không gian có lời giải chi tiết

Câu 1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc đoạn

SO sao cho 1 3 SI SO  . Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I .  cắt các cạnh , , SA SC SD

lần lượt tại , , M N P . Gọi , m n lần lượt là GTLN, GTNN của .

.

S BMPN

S ABCD

V V . Tính m

n .

A. 2 . B. 7

5 . C. 9

5 . D. 8

5 .

Lời giải

Tác giả : Lưu Thị Thêm,Tên FB: Lưu Thêm Chọn C

+) Đặt

SA x SM SC y SN

     

,  , 1 x y  .

+) Có 2 2.3 6 SB SD SO SB SP SI     5 SD

SP   .

+) Có 2 6 6 SO x y y x SI       , 1 5 x   .

+)    . 6 5

3 6 5

3 5

3 20

12 5. .1. .4

5 1

2 .

.

x x x x xy xy y x

y x V V

ABCD S

BMPN S

         

+) Xét    2 3 5 6 f x

x x 



, với 1 5 x   .

+) Có 

 

2 2 3 2 6 . 5 6

x f x

x x

  



.

+)  3 5 1

0 '     

 

 x x x f .

O

A

B

D

C

S

I

P M

N

+)  3 1 ; 25 f   1 3 15 f  ;  3 5 25 f 

3 25 1 15

m

n

   

 

9 5 m

n   .

Email: Vqdethi@gmail.com Câu 2. Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

  SBC bằng 3 a , . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp . S ABC có thể

tích nhỏ nhất.

A. AB 2a 2.  B. 3 2 . 2 a AB  C. AB 3a.  D. AB 3a 2. 

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Văn Quý,Tên FB: Quybacninh Chọn C

Ta có .

Kẻ 3 AH SC AH a    . Đặt .

. .

1 . 3 S ABC A SBC BCS V V AH S   đạt GTNN khi và chỉ khi 1 2 BCS S xy   đạt GTNN.

Do mà (theo giả thiết) nên   SA ABC  . Suy ra SAC 

vuông tại A.

Trong có

4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

3 3

x x x AC CH AH x a y xy y x a x a           

Xét hàm   

3

2 2 3 3

x f x x a x a   

. Có 

 

 

2 4

3 2 2 2 2 3 ' 3 3 3

x x f x x a x a x a     

.

x

3 a 3 2

2

a

 ' f x - 0 +

 f x

9 3 2 a

Vậy:   9 3 2 a Min xy  khi 2 3 AB x a  

Email: mp01100207@gmail.com Câu 3. Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng . Tìm  để thể tích .S ABCD là lớn nhất.

A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75

Lời giải

Chọn B

Tác giả: Phúc Minh Anh,Tên FB: Phúc Minh Anh

Do hình chóp .S ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD ta có   CD SHM  nên    SHM SCD  mà

    SHM SCD SM   nên từ H dựng HK SM  tại K thì   HK SCD 

Hay SK là hình chiếu của SH lên mặt phẳng   SCD suy ra         , , SH SCD SH SK HSK   do

tam giác SHK vuông tại K theo giả thiết ta có  HSM   với 0 2    

K

M H

D

C B

A

S

Đặt 2 2 2 SH h HC a h    

2 2

2 a h HM    và 2 2 2( ) BC a h  

Tam giác SHM vuông tại H :

2 2

2 2 2 2 tan 2 tan 2 HM a h h a h SH h        

2 2 2

2 (1 2tan )

1 2 tan

a h a h 

     



2 2 2 2 2 2 2

2 4 tan 2( ) 4 tan 1 2tan

a BC a h h       

3 2 2 . 2 3 1 1 4 tan . 3 3 (1 2tan ) S ABCD

a V BC SH 

   



Đặt 2 1 2 tan t   Với  

2 1 1; tan 2 t t     

Xét hàm số

3 2 1 ( ) . 3

a t f t

t t

  trên   1; D  

   3 3

3 2

3 ( 1) 3 2 ' . . 3 3 2

t t t t t a a f t t t t

          

 ' 0 3 f t t  

Bảng biến thiên

Vậy 

3 4 max

9 3

a f t  khi 3 tan 1 t     do 0 2     hay 0 45  .

Mail: anhquanxl1979@gmail.com Câu 4. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA b  và vuông góc

với   ABCD . Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM .

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp .S ABH theo ,a b.

A.

2

12 a b . B.

2

24 a b . C.

2

8 a b . D.

2

18 a b .

Tác giả: Nguyễn Anh Quân Face: Nguyễn Quân

Lời giải

Chọn A

4a3

9 3

0 - +

+∞ 3 1

f (t)

f '(t)

t