Tuyển tập 80 bài toán Hình học lớp 9

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9

1

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng:

1. Tứgiác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứgiác CEHD ta có:

CEH = 900 (Vì BE là đường cao) CDH = 900 (Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứgiác CEHD. Do đó CEHD là tứgiác nội tiếp 2. Theo giảthiết: BE là đường cao => BE AC => BEC = 900.

CF là đường cao => CF AB => BFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; A là góc chung

=> AEH ADC => AC AH AD AE  => AE.AC = AH.AD.

* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung

=> BEC ADC => AC BC AD BE  => AD.BC = BE.AC.

4. Ta có C1 = A1 (vì cùng phụvới góc ABC) C2 = A1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 = C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

=> C1 = E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứgiác nội tiếp C1 = E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tựta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứgiác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh ED = 2

1 BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độdài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải:

1. Xét tứgiác CEHD ta có: CEH = 900 (Vì BE là đường cao)

ThuVienDeThi.com

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9

2

CDH = 900 (Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứgiác CEHD. Do đó CEHD là tứgiác nội tiếp 2. Theo giảthiết: BE là đường cao => BE AC => BEA = 900. AD là đường cao => AD BC => BDA = 900. Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giảthiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 900 .

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2

1 BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam

giác AOE cân tại O => E1 = A1 (1).

Theo trên DE = 2

1 BC => tam giác DBE cân tại D => E3 = B1 (2)

Mà B1 = A1 ( vì cùng phụvới góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giảthiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. TừA và B kẻhai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻtiếp tuyến thứba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ởC và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh COD = 900.

3.Chứng minh AC. BD = 4

2 AB .

4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 5.Chứng minh MN AB. 6.Xác định vịtrí của M đểchu vi tứgiác ACDB đạt giá trịnhỏ nhất.

iải:

1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD …