Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2022-2023

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (6,0 điểm)

a) Giải phương trình

2 sin 2 2cos 5sin cos 4 0 2cos 3 x x x x x − − − + = +

.

b) Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 2,4,n điểm phân biệt ( 3 n > và các điểm không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Biết rằng số tam giác có các đỉnh lấy từ

6 n + điểm đã cho là 247. Tìm hệ số của 9x trong khai triển ( ) ( ) 2 2 n P x x x = − .

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Tính giới hạn ( )

3

2 0 1 1 2 1 3 2 L lim . x x x x x x → + − + + − − =

b) Bảng hình vuông (10x10) gồm 100 hình vuông đơn vị, mỗi hình có diện tích bằng 1. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật tạo thành từ các hình vuông đơn vị của bảng. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên, tính xác suất để hình chữ nhật chọn được có diện tích là số chẵn.

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy dựng đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồng thời song song với đường thẳng BD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của ∆ với AC’ và BA’.

Tính tỷ số ' AI AC .

b) Cho hình chóp S.ABC có 2 , , SA SB a SC a ASB BSC C SA α = = = ∠ = ∠ = ∠ = . Gọi M là trung điểm SB. Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( ) mp P chứa AM và song song

với BC. Tìm 0; 2 π α   ∈   

để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực , , a b c dương thỏa mãn ab bc ca abc + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P 3 a b c a bc b ca c ab   = + +   + + +  

.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho dãy số ( ) na xác định bởi

( )

1 2

2

1 1 2 1 1 2 1

1, 2

1 , 2 n n n

a a

a a a a a a a n + − −

= =  = + + ∀≥   

Tìm

1 2

1 1 1 lim

n a a a   + + +      .

-------------------------------------HẾT-------------------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………Số báo danh: …………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều cho điểm tương ứng

Câu Nội dung Điểm Câu 1a

3 điểm

Điều kiện: ( ) 3 5 cos 2 , * 2 6 x x k k π π ≠− ⇔ ≠± + ∈ 0,5

Với đk trên, phương trình đã cho tương đương

2 2 sin 2 2cos 5sin cos 4 0 sin 2 2sin 5sin cos 2 0 x x x x x x x x − − − + = ⇔ + − − + = ( )( ) 2sin 1 cos sin 2 0 x x x ⇔ − + − =

0,5

( ) 2sin 1 2 sin 2 0 4 x x     ⇔ − + − =        

π 0,5

( ) ( )

2sin 1 0 2 1 6 sin sin 2 5 2 2 4 6

x x k x k x VN x k

π π π π π

 −=  = +   ⇔ ⇔ = ⇔ ∈     + =   = +     

 1,0

Đối chiếu với điều kiện (*) được nghiệm của phương trình là 2 , 6 x k k π π = + ∈. 0,5

Câu 1b

3 điểm

Số tam giác là 3 3 3 6 4 247 n n C C C + − − = 1,0 ( )( )( ) ( )( ) 6 5 4 1 2 251 6 6

n n n n n n + + + − − ⇔ − = 0,5

( )

2 2 7 18 72 1386 0 4 77 0 11

n n n n n n KTM

=  ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔= − 

0,5

Khi đó ( ) ( ) 7 2 2 P x x x = − có số hạng tổng quát là ( ) ( ) ( ) 2 7 14 7 7 . 2 . 2 k k k k k k C x x C x − − − = − 0,5

Số hạng chứa 9x xuất hiện khi 14 9 5 k k − = ⇔ = . Vậy hệ số cần tìm là ( ) 5 5 7 2 672 C − = − 0,5

Câu 2a

2,5 điểm

Ta có ( ) ( ) 3

2 2 2 0

1 2 1 1 3 1 1 2 (1 ) lim x

x x x x x x L x x x →

  − − + − + − − −   = + +    

1,0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3

2 0 2 2 2 3 3

1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 1 lim 1 2 1 1 3 1 3 1 1 x

x x x x x x x x x x x x x x x x →

  − − − − + −  + − + − −+ +  − + −  + + + + + +  

0,75

( ) ( ) ( ) 2 2 0 3 3 2 1 3 1 5 lim 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 3 1 3 1 1 x x x x x x x x x →

  − +   − − = −− −= −   − + − + − + + + + + +  

0,75

Câu 2b

2,5 điểm

Mỗi hình chữ nhật tương ứng với việc chọn 2 đường nằm ngang và 2 đường nằm dọc của hình vuông đã cho. Vậy số hình chữ nhật là 2 2 11 11 . 3025 C C = 1,0

Đánh số đường nằm dọc lần lượt từ trái qua phải là 1,2,...,10,11 (6

đường đánh số …