Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2022 2023 trường Nguyễn Đăng Đạo Bắc Ninh

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm) Cho parabol 2 ( ): 1 P y x x   , đường thẳng : 4 d y mx   và điểm   0;4 M . Tìm

m để d cắt  P tại 2 điểm phân biệt , A B sao cho 3 OMB OMA S S    . Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình 2 3 4 2 4 38 20 15 x x x x x x x        .

Câu 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

3 2

2 2 3 49

8 8 17

x xy

x xy y y x

         .

Câu 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có 2 AD AB  , điểm   5;2 D và đường thẳng AC có phương trình là 11 12 26 0 x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm A là số âm.

Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3 1 x y z P xy yz zx       , trong đó , , x y z là 3 số

thực dương thỏa mãn điều kiện: 3 x y z   .

Câu 6: (2 điểm) Giải phương trình   cos2 1 sin 2 sin x 1 0 1 tan 2 x x x      .

Câu 7: (2 điểm) Trong một bài kiểm tra trắc nghiệm Tiếng Anh có 50 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời A, B, C, D, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Bạn Hoa học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 5 0 câu trả lời. Tính xác suất để bạn Hoa được 4 điểm bài kiểm tra Tiếng Anh đó. Câu 8: (2 điểm) Cho khai triển   2 0 1 2 1 2 ... n n n x a a x a x a x       , trong đó * nvà các hệ số thỏa

mãn hệ thức 1 0 ... 4096 2 2

n n a a a     . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên?

Câu 9: (4 điểm) Cho hình chóp .S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O, M là một điểm di động trên cạnh SC . a, Khi M là trung điểm của SC , chứng minh rằng   MO SAB  . b, Khi M thay đổi vị trí trên cạnh SC , mặt phẳng  P qua AM và song song với BD , cắt , SB SD lần lượt tại

H và K . Chứng minh rằng SB SD SC SH SK SM   có giá trị không đổi.

------------- HẾT -------------