Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán năm 2021 2022 sở GD ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2021-2022

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG

QUỐC GIA NĂM HỌC 2022-2023

Khóa ngày 25 tháng 4 năm 2022

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

VÒNG 1 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu Câu 1 (2,0 điểm).

a. Giải phương trình 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x          

.

b. Chứng minh rằng phương trình 2 2022 2 2 2 0 m x x x m     luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 1. 2. ... . 16 n n n n C C nC n     . Tìm hệ số của số

hạng chứa

7x trong khai triển của nhị thức

2 1 2 2

n x x

       

, 0 x .

b. Cho cấp số cộng   nu có các số hạng đều là số nguyên và công sai d là một số dương. Biết rằng 20 0 u m   và 17 m u  . Tính 2022 u .

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Tính giới hạn

3

2 0

1 2 1 3 lim . x

x x x 

  

b. Cho dãy số   nu xác định bởi: 1 9 u  và     1 3 5 22 n n n u n u      với mọi 1 n .

Tính giới hạn 2 2021 lim . 25 4 2022

n u n n  

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD và , , SA a AB b AD c   . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng   SBD .

a. Trong trường hợp 7, 1 SA AB AD   , gọi  P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng  P và tính diện tích thiết diện đó.

b. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác SBD.

c. Chứng minh rằng 3 . . . 2 HBD HSD HSB

abc a S b S c S    , ở đây kí hiệu XYZ S là diện tích

của tam giác XYZ .

Câu 5 (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 1000. Một số thuộc S được gọi là số “thú vị” nếu số đó là hợp số và không chia hết cho ba số 2; 3; 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số “thú vị”.

-------------HẾT -------------

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2021-2022

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG

QUỐC GIA NĂM HỌC 2022-2023

Khóa ngày 25 tháng 4 năm 2022

Môn thi: TOÁN

VÒNG 1 Đáp án này gồm có 06 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.

Câu Nội dung Điểm

1a Giải phương trình 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x          

.

ĐK: 2 x k    

2

2

1 cos 2 2sin tan 2

1 sin2 2sin tan

pt x x x

x x x

             

0.25

    

2 2 cos 2sin cos 2sin cos sin

sin cos 2sin cos sin cos 0

sin cos 1 sin2 0

x x x x x x

x x x x x x

x x x

   

    

   

0.25

sin cos 0 1 sin2 0

tan 1 sin2 1

x x x

x

x

     

    

0.25

 

 

4

4

x k TM

x k TM

 

 

   

  

Vậy phương trình có nghiệm là 4 x k     và 4 x k     .

0.25