Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2021 2022 cụm trường THPT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11

NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài I (5,0 điểm)

1) Giải các phương trình sau :

a)     sin 2 4 cos sin 2 0; x x x b)  sin cot 2 cos 3 . x x x

2) Giải hệ phương trình

          

5 2 2 5. 2 1

x y x y

x y x y

Bài II (3,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn    2 2 3 2x 1 6 10 2

x x A A C x .

2) Tìm hệ số của 5 x trong khai triển       

5

3

2 2 . x

x

3) Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất một chữ số 1. Bài III (4,0 điểm) Cho dãy số   n u thoả mãn       1 1 1, 3 2 , 1 n n u u u n .

1) Chứng minh dãy số   1 n u là một cấp số nhân, tính 50. u

2) Chứng minh        1 2 100

1 1 1 3 ... 1 1 1 4 u u u .

3) Tìm công thức tổng quát của dãy số       1 1 1; , 1 2 3

n

n

n

v v v n v .

Bài IV (2,0 điểm) Tính giới hạn  



  



3

1

2 1 3 2 lim . 1 x

x x

x

Bài V (6,0 điểm) Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có các góc   

0 ' ' 60 BAD DAA BAA và tất cả các cạnh bằng . a 1) Chứng minh  ' ' ' BA B C và tính độ dài cạnh ' AC theo . a

2) Lấy các điểm , , M N P thỏa mãn  0, MA MB   2 0, NB NC   2 ' 0. PC PC

Dựng thiết diện của hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D cắt bởi mặt phẳng ( ). MNP

3) Mặt phẳng ( ) MNP cắt đường thẳng ' D B tại .I Tính tỷ số ' . D I

BI

- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:..................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11

NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Bài Câu Nội dung Điểm 1 (5,0đ)

1a

        sin 2 4cos sin 2 0 (sin 2)(2cos 1) 0 x x x x x

     

sin 2

1 cos 2

x

x

1,0

+)  sin 2( ) x l

+)       1 cos 2 . 2 3 x x k

1,0

1b

ĐK:     sin 2 0 . 2 k x x 0,25

   sin cot 2 cos3 sin .cos2 cos3 .sin2 x x x x x x x

    1 1 (sin 3 sin ) (sin 5 sin ) 2 2 x x x x

1,0

 

   

                  

5 3 2 sin 3 sin 5 5 3 2

8 4

x k x x k x x k x x k x

0,5

Kết hợp điều kiện  2

k x suy ra     8 4 k x .

Vậy nghiệm của phương trình là     8 4 k x .

0,5

2

Đặt

                              

2 2 2

2 2 2 5 2 5 2 2 ( 0, 0) 2 5 2 2

x y a x y a x a b a b x y b y b a x y b

0,25

Khi đó hệ phương trình trở thành

                        

2 2 2 2 2 2 5 5

2 (5 2 ) 1 3(5 ) 7 1 0

a b a b

b a b b a b b b

        

2

5

4 29 74 0

a b

b b

    

2, 3 37 ( ) 4

b a

b l

0,5

Với

                    

5 2 9 1 2, 3 2 4 2 x y x b a x y y

Vậy hệ có nghiệm là   1;2

0,25

2 (3,0đ)

1 Điều kiện:   , 3. x x 0,25

ta có

           2 2 3 2 1 6 1 6 ( 1)( 2) 10 .2 (2 1) ( 1) 10 2 2 3! x x x

x x x A A C x x x x x x

0,25

        (2 1) ( 1) ( 1)( 2) 10 x x x x x x

    3 12 4. x x 0,25

Kết hợp điều kiện suy ra 3 x hoặc 4 x 0,25 2

 



 

 

                  

5 5 5 5 5 3 3 5 10 5 5 2 2 0 0 2 2 2

k

k k k k k

k k x C x C x x x

0,5

Hệ số của 5 x trong khai triển thỏa mãn:     5 10 5 3. k k

Vậy hệ số của 5 x trong khai triển là:     2 3 5 2 40 C

0,5

3 Gọi số cần tìm là abcde

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là:

4 9.10

0,5

Số các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó không có chữ số 1 là:

4 8.9 0,25

Số các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất 1 chữ số 1 là:

4 4 9.10 8.9 37512   số 0,25

3 (4,0đ)

1 Ta có:      1 1 3( 1) , 1 n n u u n

Suy ra   1 n u là cấp số nhân với công bội 2

0,5

Ta có:         49 49 50 1 1 3 . 1 2.3 u u

Suy ra   49 50 2.3 1 u

0,5

2

Ta có         

1

1 n u là cấp số nhân với công bội bằng 1

3 .

0,5

                  

100

100

99 1 2 100 1

1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 ... …