Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Quảng Bình (Vòng 1)

0

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021 VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2021-2022

Khóa ngày 06 tháng 4 năm 2021

Môn thi: TOÁN - Vòng 1

SỐ BÁO DANH:……………

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu.

Câu 1. (2,0 điểm).

a. Giải phương trình

2 2 2 2 2cos 3cos 3sin 4cos 1 4 2

x x x x            

.

b. Chứng minh rằng phương trình   2 2020 1 2 2 0 m m x x      luôn có nghiệm với mọi

tham số m. Câu 2. (2,0 điểm).

a. Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của   2 3 1

n x x   biết n là số nguyên

lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức 2 3 4 1.2.C 2.3. 3.4. ... ( 1). . 64. ( 1) n n n n n C C n nC n n        . b. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số. Một số thuộc S được gọi là “số

đẹp” nếu chữ số ở hàng trăm bằng trung bình cộng của hai chữ số ở hàng đơn vị và hàng chục nghìn. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn là “số đẹp”. Câu 3. (2,0 điểm).

a. Tìm giới hạn   3 2021

0

2020 . 1 2021 2020 lim

x

x x L x 

    .

b. Cho dãy số   nu xác định bởi:

1 2 2, 1 u u   và   2 3 1 1 1 2 n n n u n u u      với mọi 2 n  .

Tính 2021 u . Câu 4. (3,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, , ' 2 AB a AA a   . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , ' AB BB . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a. Xác định thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mặt phẳng  ' MNC . b. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ') MNC và ( ) ABC . Từ đó tính diện tích thiết diện tìm được ở câu a. c. Gọi   là mặt phẳng thay đổi và luôn đi qua trung điểm I của B’G và cắt các cạnh ' , ' , ' B A B B B C lần lượt tại , , X Y Z (không trùng ' B ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức ' ' ' . . ' ' ' B A B B B C T B X B Y B Z  .

Câu 5. (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng:

cos .cos cos .cos cos .cos 2 cos cos cos A B B C C A C A B    .

................ HẾT................

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021 VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2021-2022

Khóa ngày 06 tháng 4 năm 2021

Môn thi: TOÁN

Vòng 1

Đáp án này gồm có 06 trang

YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.

Câu Nội dung Điểm

Câu 1a Giải phương trình: 2 2 2 2 2cos 3cos 3sin 4cos 1,(1) 4 2 x x x x            

. 1,0đ

  2 2 1 cos 2 1 cos 2 (1) 2. 3 cos sin 4 1 2 2

x x x x

              

  1 sin2 3cos2 2 1 cos 1 x x x     

0,25

sin2 3cos2 2cos x x x    0,25

cos 2 cos 6 x x          

0,25

2 6 ,( ) 2 18 3

x k

k Z k x

 

 

         

Vậy phương trình có nghiệm 2 2 ; ( ) 6 18 3 k x k x k Z         

0,25