Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán năm học 2019 2020 trường THPT thị xã Quảng Trị

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 12 tháng 6 năm 2020

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I.(5,5 điểm) 1.Cho hàm số 

3 1 1 0

2 0

x x khi x f x x m khi x

     

   

. Tìm m để hàm số  f x liên tục tại

0. x  2. Một tổ gồm 10 học sinh gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ trong đó có hai học sinh nữ tên Trang và Thủy. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang. Tính xác suất để xếp được một hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang và Thủy luôn đứng cạnh nhau, đồng thời các học sinh nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Trang và Thủy. Câu II. (7,0 điểm) 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 0 30 ABC  và 2 BC a  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Biết hai mặt phẳng   SHA và   SBC cùng vuông góc với mặt

phẳng   ABC , đồng thời SA tạo với mặt phẳng   ABC một góc bằng 0 60 .

a) Tính góc tạo bởi SA và mặt phẳng  . SBC

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SAC theo .a 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại . A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

BC , các điểm , M N lần lượt là trung điểm của HB và HC ; điểm K là trực tâm tam giác . AMN a) Gọi I là trung điểm của AH . Chứng minh rằng K là trung điểm của IH .

b) Tìm tọa độ điểm A; biết    2; 1 , M 1 1 ; 2 2 K        và điểm A nằm trên đường thẳng 2 4 0 x y    đồng

thời điểm A có tung độ âm.

Câu III. (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực   3 3

2 4 3 2

3 2 4 1

x y x y xy x y

y x x y xy x

              

.

2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

    2 sin 1 . 2sin 2 3 sin 2 0 x x m x m           có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 ; 6 2        

.

Câu IV. (3,5 điểm) 1. Cho dãy số   n u xác định bởi

 

1

2

1 3 2

4

. 3 . 2 6 3, 1 1 . 1

n n

u

nu n n u n n n n 

            

Xác định công

thức tổng quát n u theo n và tính . lim 4

n n nu      

.

2. Cho x , y , z là các số thực dương và thỏa mãn 2 2 2 2 x y z x    .

a) Chứng minh rằng . 1 z x y x y   

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức         

2

2 2 2 4 3 3 2 1 1 x y z z y x P x y y x y

         

.

--------------------HẾT--------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT (đối với môn Toán).

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề có 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 11 NĂM HỌC 2019-2020.

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu I

(5,5

điểm)

1. (2,5 điểm). TXĐ   1; D , 0 x D  và  0 2. f m  

Ta có 

3 3 3

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim . x x x x x x x x x x x f x x x x x                

0 0 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 x x x

x x     

và

 

3

2 0 0 3 3 1 1 1 1 lim lim . 3 1 1 1 x x x x x x         

Suy ra  0

1 1 5 lim . 2 3 6 x f x    

Hàm số  f x liên tục tại   0

5 17 0 lim 0 2 . 6 6 x x f x f m m         

2. (3,0 điểm). Không gian mẫu 10!  .

-Gọi A là biến cố xếp được theo yêu cầu bài toán.

-Xếp 6 học sinh nam có 6! cách xếp. Mỗi cách xếp 6 học sinh nam ta xem mỗi học sinh nam là một vách ngăn tạo ra 7 vị trí trống bao gồm 5 vị trí trống ở giữa và 2 vị trí trống ở hai đầu hàng.

-Số cách xếp hai bạn nữ Trang và Thủy cạnh nhau là 2!

-Hai hs nữ Trang và Thủy luôn cạnh nhau nên xem 2 bạn như 1 bạn và 2 bạn nữ còn lại ta có 3 bạn

nữ.

-Số cách xếp sao cho hai bạn nữ còn lại không cạnh nhau và không cạnh Trang và Thủy là 3 7. A

Khi đó, 3 7 6!.2!. A A   . Vậy 

3 7 6!.2!. 1 . 10! 12 A p A  

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

1,0

Câu II

(7,0 điểm)

1. (5,0 điểm)

a) (2,5 điểm). (Ta có

           

 

SHA SBC SH

SHA ABC SH ABC

SBC ABC

          

và   AH ABC  nên 1 SH AH 

Mặt khác (2) AH BC 

0,5