Đề thi HSG lớp 11 môn Toán năm 2019 2020 trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO

UTháng 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2019-2020

MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút)

UCâu 1U( 4,0 điểm) 1) . Cho hàm số 2 4 3 y x x = − + có đồ thị là (PR1 R) và hàm số 2 2 3 y x x = + + có đồ thị là (PR2 R). Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (PR1 R) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (PR2 R) tại hai điểm C, D. Tìm m để 2 AB CD = .

2) Giải bất phương trình

2

2 1 2 2 3 1 1. 1 2 1

x x x

x x

+ − + + > − − +

UCâu 2U( 4,0 điểm)

1) Giải phương trình 4cos3 cos 2cos4 4cos tan tan 2 0. 2 x x x x x x − − + + =

2) Giải hệ phương trình. ( )( ) 2

2 2

9 2 3 4 7

7 25 19 2 35 7 2

y y y x xy x

x y x x y

 + + − + =   + + − − − = + 

UCâu 3U( 4,0 điểm) 1) Cho các số thực dương , , . x y z Chứng minh rằng

2 2 2

3 2 3 2 3 2 1 1 1 3. 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3

x y z

y z z x x y

+ + + + + ≥ + + + + + + + + +

2) Cho dãy số ( ) n u xác định như sau

( )

1

1

1

2 3 , 2.

2 2 1 1

n n n

u n u u n u

−

−

 =  ∀≥   = − + 

Tính tổng của 2019 số

hạng đầu tiên của dãy số ( ) n u .

UCâu 4U( 4,0 điểm) 1) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI. Các đường thẳng AC và KH lần lượt có phương trình là 1 0 x y    và 2 1 0 x y    . Biết điểm B thuộc đường thẳng 5 0 y   và điểm I thuộc đường thẳng 1 0 x   . Tìm tọa độ điểm C.

UCâu 5U( 4,0 điểm)

1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 3 AB a  và 3 AD a  . Cạnh bên 2 SA a  và SA vuông góc với mặt đáy   ABCD . Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của

đỉnh A lên các cạnh SB và SD . Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  . AHK

2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau tại . O Gọi H là hình

chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng   ABC và P là điểm bất kỳ trong tam giác . ABC Chứng minh

rằng

2 2 2 2

2 2 2 2 2 . PA PB PC PH OA OB OC OH    

....................... HẾT .......................

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

UTháng 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút)

ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020 Câu Đáp án Điểm 1a Xét 2 phương trình: 2 4 3 0 x x m − + − = (1) và 2 2 3 0 x x m + + − = (2)

ĐK:

1

2

1 0 2 2 0

m m m

∆= + >  ⇒ > ∆= − > 

2 2 2 2 1 2 3 4

2 2 1 2 1 2 3 4 3 4

2 2 ( ) 2( )

( ) 4 2[( ) 4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = 5

AB CD AB CD x x x x

x x x x x x x x

= ⇔ = ⇔ − = −

⇔ + − = + − ⇔ ⇒

ĐS: m = 5. 2.0 1b (2 điểm)

+ Điều kiện 0 x ≥

+ Ta có

2 2 1 3 2 1 2 3 1 2 4 x x x   − + = − + ≥ >    

nên

2 1 2 1 0 x x − − + <

Do đó bất phương trình

2 2 1 2 2 3 1 1 2 1 x x x x x ⇔+ − + + < − − +

2 2 1 3 1 x x x x x ⇔ + − + < + + 0.5 + Nếu 0 x = thì bất phương trình trở thành 1 1 < (vô lý)

+ Nếu 0 x > thì bất phương trình 1 1 1 1 3 x x x x ⇔+ + − < + +

0,5

+ Đặt 1 x t x + = với 2 t ≥ , bất phương trình trở thành 1 1 3 t t + − < +

13 2 1 3 4 t t ⇔ − < ⇔ < 0.5

+ Với 13 4 t < thì

2 1 13 13 105 13 105 4 12 4 0 4 8 8 x x x x x − + + < ⇔ − + < ⇔ < <

+ Vậy bất phương trình có nghiệm là 13 105 13 105 8 8 x − + < < 0.5 2a (2 điểm) + Với điều kiện cos 1 cos 0 2 cos 0 cos 0

x x x x

 ≠− ≠   ⇔   ≠   ≠ 

phương trình tương đương với

sin sin 2 4cos3 cos 2cos 4 4cos 2 0 cos cos 2

x x x x x x x x − − + + =

0.5

( )

sin sin cos cos 2 2 2 cos 2 cos 4 2cos 4 4cos 1 0 cos cos 2

x x x x x x x x x x

+ ⇔ + − − + + =

0,5