Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn Toán THPT năm 2018 2019 sở GD ĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Số báo danh……………

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN – Lớp 11 THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 21 tháng 3 năm 2019 (Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Câu I (4,0 điểm)

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 –2mx + 3, biết rằng (P) có trục đối xứng là x = 2.

2. Giải phương trình: 2 2 7 2 1 8 7 1         x x x x x .

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2sin 2 cos2 7sin 4 3 1 2cos 3       x x x x

.

2. Giải hệ phương trình:  

   

3 2 2

2 2 2 2

4 4 1 5 4 1

2 3 3 6 7 1 1 3 2

                    

y y y x y y x

x x x y x y x

( ,  x y ).

Câu III (4,0 điểm)

1. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:  

2 2 2 2 1 4 4 2 2 2      x y z x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  

3 3 3 8 8 2 2 4 2 2        x y z P x y z xy yz zx .

2. Cho dãy số xác định bởi:

1

* 1

2 4 3.4 , 

      

n n n

u u u n . Tìm số hạng tổng quát un và tính giới hạn

2 2 3 1 lim  

n

n n u .

Câu IV (4,0 điểm)

1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ lẻ và ba chữ số chẵn, trong đó mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần?.

2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, trọng tâm 8;0 3       G , các điểm

    0;1 , 4;1 M N lần lượt đối xứng với I qua AB và AC, điểm   2; 1  K thuộc đường thẳng BC. Viết phương trình đường tròn (C).

Câu V (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng không qua S cắt các cạnh SA, SB,

SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q thỏa mãn: 2 , 3   SA SM SC SP. Tính tỉ số SB

SN khi biểu thức

2 2

4            

SB SD T SN SQ đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1. Một mặt phẳng () thay đổi và luôn song song với đáy cắt các đoạn AB1, BC1, CD1, DA1 lần lượt tại M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mp() sao cho diện tích MNPQ nhỏ nhất.

…HẾT…

Hướng dẫn giải Đề thi HSG Thanh Hóa ngày 21/3 năm 2019

Câu I.2. Giải PT: 2 x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1        .

Đặt 2 2 7 x u 0; x 1 v 0 u v 6         ta có pt:

    2 v 1 2u 2v 1 uv 2 u v v u v       

v 2

v u 3

    

x 5 x 4     

(thỏa mãn). Vậy tập nghiệm   S 4;5  .

Câu II. 1. Giải phương trình: 2sin2x cos2x 7sin x 4 3 1 2cosx 3      

.

ĐK: 2cosx 3 0  

Từ pt  

2 2sin2x cos2x 7sinx 4 2cosx 2cosx 2sinx 1 2sin x 7sinx 3 0           

  

1 1 sinx sinx 2sinx 1 2cosx sin x 3 0 2 2 2cosx sin x 3 cosx sin x 1(loai)

                   

1 sinx x k2 2 6        (loại nghiệm 5 x k2 6

   ). KL: nghiệm của pt là x k2 6    .

Câu II. 2. Giải hệ phương trình:  

   

3 2 2

2 2 2 2

y 4y 4y x 1 y 5y 4 x 1

2 x 3x 3 6x 7 y x 1 y 1 3x 2

                    

.

ĐK: 2 x 3  . Từ pt đầu tương đương:       2 2 y y 2 y 2 x 1 x 1 x 1 y      

  

2 y x 1 y x 1 y 2 x 1 0 y x 1 y 2 x 1 0

                      

(loại nghiệm x = -1, y = 2)

Thế 2 y x 1   (y > 0) vào pt thứ hai thì được:

       2 2 2 x 3x 3 2 3x 2 x 3x 2 x 1 x 1 3x 3            

      

2 2

2 x 3x 2 2 3x 2 3x 2 x x 1 x 1 3 x 1 x 3x 3 2

              