Đề thi HSG tỉnh lớp 11 môn Toán THPT năm 2018 2019 sở GD ĐT Nghệ An (Bảng A)

1

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – BẢNG A

(Hướng dẫn chấm này gồm 06 trang) Câu Đáp án Điểm 1. (7,0đ)

a) (4,0 điểm) Giải phương trình   cos2 7cos 3 sin2 7sin 8. x x x x     (1)

    (1) cos2 3sin2 7 cos 3sin 8 x x x x      0,5

cos 2 7sin 4 0 3 6 x x                    

1,0

2

2

1 2sin 7sin 4 0 6 6

2sin 7sin 3 0 6 6

x x

x x

 

 

                                   

1,0

1 sin 6 2

sin 3 ( ) 6

x

x ptvn





                     

0,5

  2

. 2 2 3

x k

k x k

  

       

0,5

Vậy phương trình có nghiệm 2 , x k   2 2 , . 3 x k k      0,5

b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình

 

 

2 2

3 2 2 2 2 2 1 1 (1)

, . 3 2 6 2 2 0 (2)

x x x y y

x y x x y x y

        

      

Điều kiện 2 2 2 0 x y   .

  

2 2 1 ( 1 ) 1 1 1 0 x y x y       0,5

 

 

2 2

2 2

( 1 )( 1 ) ( 1 ) 0 1 1 1

1 ( 1 ) 1 0 1 1 1

x y x y x y

x y

x y x y

x y

        

               

 

2 2

1 0 1 1 0 1 1 1

x y x y

x y

           

0,5

2

 

2 2

1

1 1 1 ( 1) 0 (*)

y x

x y x y

   

      

Ta có  

2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 0 x y x y x x y y             nên phương trình (*) vô nghiệm.

0,5

Thay 1 y x  vào phương trình (2) ta được phương trình  

 

3 2 2

3 2 2 2

5 4 4 2 1 0

3 4 2 1 2 1 0 (3)

x x x x x

x x x x x x

    

          

0,5

Đặt 2 2 1 0 a x x   , phương trình (3) trở thành

3 2 3 2 3 4 0 ( )( 2 ) 0 2 x a x x a a x a x a x a           

0,5

2

2

0 1 5 1 5 2 1 1 0 2 2 x x a x x x x y x x

                

2

2

0 2 4 2 5 4 2 2 2 2 1 7 4 4 0 7 7 x x a x x x x y x x                 

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; ) x y với

1 5 2 1 5 2

x

y

   

   

và

2 4 2 7 . 5 4 2 7

x

y

   

   

0,5

2. (2,0đ) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của .S Lấy ngẫu nhiên một số từ , S tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. Số phần tử của S là 4 9 3024 A  (số). Số phần tử của không gian mẫu là  3024 n  Gọi A là biến cố “số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11”.

0,5

Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là   0, abcd a a b c d     Theo giả thiết ta có   11 a c b d    và   11 a c b d    Suy ra  11 a c  và  11 b d  .

0,5

Trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có các bộ số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11 là      2, 9 ; 3, 8 ; 4, 7 ; 5, 6 . 0,5

Chọn cặp số   ,a c có 4 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. Khi đó chọn cặp số   b, d còn 3 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. Như vậy  4.2.3.2 48 n A   (số).

0,5