Đề KSCL đội tuyển HSG lớp 11 môn Toán năm 2017 2018 trường THPT Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11

MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm).

a. Tìm m để hàm số cos 3sin5 4cos5 2 3 x y

x x m 

  

có tập xác định là .

b. Giải phương trình 2 sin 1 2(1 cos )(1 cot ) . sin cos x x x x x     

Câu 2 (1,0 điểm). Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác trên.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 4 3 4( 2) n n n n C C n       . Tìm hệ số của 5x

trong khai triển nhị thức Niu – tơn của 2 2 (1 2 ) (1 3 ) . n n P x x x x    

Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình . H Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông?

Câu 5 (1,0 điểm). Cho ( ) f x là đa thức thỏa mãn

2

( ) 20 lim 10 2 x

f x

x 

   .Tính

3

2 2

6 ( ) 5 5 lim . 6 x

f x A x x 

    

Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng , Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, hai điểm Avà B nằm

trên đường thẳng 3 11 0 x y    , điểm Acó hoành độ dương, trọng tâm của tam giác ABC là

2 5 ( ; ) 3 3 G và chu vi của tam giác ABC bằng 3 10 5 2  . Tìm tọa độ các điểm , , . A B C

Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và các cạnh bên đều bằng

a . Gọi M là điểm nằm trên SB sao cho 1 3 SM SB  .

a. Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa CM và song song với . SA Tính theo a diện tích thiết diện tạo

bởi ( ) P và hình chóp . . S ABCD

b. E là một điểm thay đổi trên cạnh AC . Xác định vị trí điểm E để ME vuông góc với . CD

Câu 8 (1,0 điểm). Xét phương trình 3 2 1 0 ax x bx    với ,a b là các số thực, 0, a a b   sao

cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 3 10 . ab a P a   

-------------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI

11 MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018

Đáp án gồm: 05 trang I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) a.(1,0 điểm). Hàm số có tập xác định là khi và chỉ khi ( ) 3sin5 4cos5 2 3 0, . f x x x m x       0,25

Ta có: 3 4 2 3 ( ) 0, sin5 cos5 , . 5 5 5 m f x x x x x        0,25

2 3 sin(5 ) , 5 m x x       với

3 cos 5 4 sin 5





     

.

Do 1 sin(5 ) 1, x x      nên 2 3 ( ) 0, 1 1. 5 m f x x m      

Vậy 1. m 

0,5

b.(1,0 điểm)

ĐK: sin 0 , . sin cos 0

4

x k x k x x x k



 

              

2 1 sin 1 2(1 cos ).sin sin cos x Pt x x x x     

0,25

2 sin 1 sin cos sin .cos 1 0 1 cos sin cos x x x x x x x x          0,25

Đặt sin cos 2sin( ), 2 2, 4 t x x x t        Phương trình trở thành:

2 1 1 0 1. 2 t t t    

0,25

Với 1, t  ta có

2 2 ( ) 1 4 4 sin( ) . 2 5 4 2 2 ( ) 2 4 4

x k x k tm x

x k l x k

     

    

                     

Vậy phương trình có họ nghiệm 2 . 2 x k    

0,25