Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm học 2016 2017 cụm thi THPT Yên Thành Nghệ An

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN CỤM THI THPT YÊN THÀNH

ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 11

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (6,0 điểm).

a) Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2 sin 3 os sin 1 cos 3cos 1 0. 2 x x c x x x + − + − −=

b) Giải bất phương trình: 2 2 2 ( 1)( 2 2 3) 2 2 1 x x x x x x + + + + + > + − − Câu 2 (3,0 điểm). Cho đa giác lồi (H) có 22 ca ̣nh. Gọi X là tâ ̣p hợp các tam giác có ba đı̉nh là ba đı̉nh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tı́nh xác suất để chọn được 1 tam giác có 1 ca ̣nh là ca ̣nh của đa giác (H) và 1 tam giác không có ca ̣nh nào là ca ̣nh của đa giác (H). Câu 3 (2,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi:

1

2 1 2 1

2

( 1) 2 ... ( 1) , 1, . n n

u

n n u u u n u n n −

=  − = + + + − ∀> ∈  . Tìm 3 9 lim ( ). 2 n n n u − .

Câu 4 (5,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm H, K lần lượt là trung điểm của AD, C’D’. Điểm M thuộc đoạn BC’, N thuộc đoạn AB’. Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 0 45 . a) Chứng minh rằng: AK BH ⊥ ; b) Chứng minh rằng: (2 2) MN a ≥ − .

Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC; đường thẳng AD là phân giác trong góc Â. Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N ( M, N khác A và D ) sao cho

  ABN CBM  . Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm F; biết phương trình FA là 8 0 x y + − = và ( 3; 1), ( 4; 2) M B − − − − . Xác định tọa độ điểm A biết đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC đi qua điểm (0; 22) Q .

Câu 6 (2,0 điểm). Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 1 ab bc ca + + = . Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2 3 3 . 2 2 2 8 a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + +

……………. Hết …………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Họ và tên thí sinh…………………….…………………………… Số báo danh……………………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG CỤM THPT YÊN THÀNH

(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

Câu Nội dung Điểm 1. (6,0đ)

a. 3,0

4 2 2 2(sinx 3) os 2sin . os 6cos 2 0 2 2 2 x x x Pt c x c ⇔ + − − + = 0,5

4 2 (sinx 3) os os (sinx 3) 1 0 2 2 x x c c ⇔ + − + + = 0,5

2 2 os (sinx 3)( os 1) 1 0 2 2 x x c c ⇔ + − + = 0,5

2 3 2 1 (sinx 3)sin 1 0 sin 3sin 4 0 4 x x x ⇔− + + = ⇔ + − = 0,5

sinx 1

sinx 2( ) vn

=  ⇔ = − 

0,5

2 ( ) 2 x k k π π ⇔ = + ∈ 0,5

b. 3,0

Đặt:

2 2 2

2 2 ( 2) 1 2 2 3 ( 2)

a x a b a x b x x b

= + ≥ − −  ⇒ =  = + + ≥ 

0,5

BPT trở thành: 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 0 2 2 b a b a a b a b − + − − + − + > 1,0

2 ( )( 1) 0 b a b a ⇔ − + + > 0,5

2 2 2 3 2 b a hay x x x ⇔ > + + > + 0,5

1 2 x ⇔ > − . Vậy tập nghiệm của bpt là: 1 ( ; ) 2 S = − +∞ 0,5

2. (3,0đ)

+) Đa giác lồi (H) có 22 ca ̣nh nên có 22 đı̉nh. +) Số tam giác có 3 đı̉nh là ba đı̉nh của đa giác (H) là 3 22 C 1540. =

0.5

+) Số phần tử của không gian mẫu Ω là 2 1540 n( ) C 1185030 Ω= = 0,5

Số tam giác có một ca ̣nh là ca ̣nh của đa (H) là 22.18 = 396 +) Số tam giác có hai ca ̣nh là ca ̣nh của đa (H) là 22

0,5

Số tam giác không có ca ̣nh nào là ca ̣nh của đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 +) Gọi A là biến cố “ hai tam giác được chọn có một tam giác có 1 ca ̣nh là ca ̣nh của (H) và 1 tam giác không có ca ̣nh nào là ca ̣nh của (H)"

0,5

Số phần tử của A là 1 1 396 1122 n(A) C .C = 0,5

Xác suất của biến cố A là

1 1 396 1122 C .C n(A) 748 p(A) n( ) 1185030 1995 = = = Ω 0,5

3. (2,0đ)

Ta có: 2 1 3 u =

Với 3 n ≥, ta có: 3 1 2 2 ... n n u u nu n u + + + = (1) 3 1 2 1 1 2 ... ( 1) ( 1) n n u u n u n u − − + + + − = − (2)

0,5