Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2012 2013 trường THPT Thuận An TT Huế

SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ

TRƯỜNG THPT THUẬN AN

THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11

NĂM HỌC 2012-2013

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh :......................................................................... Số báo danh : .........................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau :

1. 2 10 4sin .cos tan( )(2sin 1) 2sin3 3 x x x x     2.  

  

 − = − + 2 4 cos 2 sin 2 cos sin 2 sin 1 2 2 x x x x x π

Bài 2: (2 điểm) Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân. Tùng muốn mời 5 bạn đến tham dự sinh nhật của mình. Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rằng hai bạn Long và Lân rất ghét nhau nên Tùng không thể đồng thời mời cả hai bạn này cùng có mặt.

Bài 3: (3 điểm)

1. Chứng minh: 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ... n n n n n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + + + = + + + .

2. Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhị thức Newtơn

7

4 1

n x x   +    

,

biết rằng 1 2 20 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 + + + + + + = − n n n n C C C

Bài 4: (2 điểm) Cho dãy số

1

1

2 ( ): 5 4 n n n

u u u u 

     

. Tìm số hạng tổng quát của nu theo n.

Bài 5: (2 điểm) Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân; đồng thời chúng theo thứ tự là số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Tìm 3 số đó biết tổng của chúng bằng 13. Bài 6: (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC. Biết B,C nằm trên đường thằng : 3 0 d x y  ,

A nằm trên đường thẳng ':3 2 0 d x y   , trọng tâm của tam giác ABC là 2 2 ( ; ) 3 3 G và diện tích tam

giác ABC bằng 10. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết hoành độ của điểm A không âm.

Bài7: (2 điểm) Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng 3 tam giác đều

1 1 1 , , ABC BCA CAB . Chứng minh 1 1 1 AA ,BB ,CC đồng quy.

Bài 8: (2 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa : 1 2 a b c  .

Chứng minh : 1 1 1 3 2 3 2 3 2 3 a b c b c a c a b         

--------------------------Hết---------------------

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM

Bài Đáp án Điểm

1)

(4điểm)

1)(2điểm) Giải phương trình:

2 10 4sin .cos tan( )(2sin 1) 2sin3 3 x x x x    

Phương trình đã cho tương đương với: sin2 3 os2 2sin3 x c x x   0,5

1 3 sin2 os2 sin3 2 2 x c x x    0,5

sin(2 ) sin3 3 x x     0,5

2 3 4 2 15 5

x k k k x

 

 

       

 0,5

2)(2điểm) Giải phương trình:  

  

 − = − + 2 4 cos 2 sin 2 cos sin 2 sin 1 2 2 x x x x x π

Phương trình đã cho tương đương với: sin (sin os .sin 1) 0 2 2 x x x c x    0,5

3 sin (2sin sin 1) 0 2 2 x x x     0,5

• sin 0 x x k    0,5

• 3 2sin sin 1 0 sin 1 4 2 2 2 x x x x k         0,5

2)

(2điểm)

Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân. Tùng muốn mời 5 bạn đến tham dự sinh nhật của mình. Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rằng hai bạn Long và Lân rất ghét nhau nên không thể đồng thời có mặt.

Số cách bạn Tùng chọn 5 người bạn trong 10 người đến dự sinh nhật của mình là :

5 10 252 C  0,5

Số cách bạn Tùng mời 5 người bạn trong 10 người đồng thời có cả Long và Lân là:

3 8 56 C  0,5

Vì hai bạn Long và Lân rất ghét nhau nên không thể đồng thời có mặt, vì vậy bạn Tùng chỉ có thể mời nhiều nhất là 1 bạn Long hoặc Lân dự sinh nhật. 0,5

Vậy, số cách bạn Tùng mời 5 bạn đến dự sinh nhật là: 252 56 196   0,5