Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán năm 2023 2024 trường THPT Bắc Sơn Lạng Sơn

TRƯỜNG THPT BẮC SƠN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN THI: TOÁN 12 THPT

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

Câu 1: (6,0 điểm).

a. Cho hàm số ( ) 3 2 y x mx 4m 9 x 5 = − − + + + , với m là tham số. Có bao giá trị nguyên của m để

hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ; −∞+∞

b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số ( ) 4 3 2 y x 4mx 3 m 1 x 1 = + + + + có cực tiểu mà không có cực đại.

c. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 y x 2x m 4 = + + − trên

đoạn [ ] 2;1 − bằng 4 . Câu 2: (4,0 điểm)

a. Giải hệ PT sau trên tập số thực:

2 2

2 2 x x 1 y y 1 (1)

x y xy 1 (2)

+ + = + −  + − = 

b. Giải phương trình sau trên tập số thực:

2

2 tan x tan x 2 sin x tan x 1 2 4 π +   = +   +  

.

Câu 3: (2,0 điểm). Từ các số của tập { } A 0,1,2,3,4,5,6 =

a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.

b. Lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

Câu 4. (6,0 điểm)

a. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, ( ) SA ABC ⊥ . Mặt phẳng ( ) SBC cách

A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ) ABC góc 0 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABClà tam giác vuông tại A, AB a, BC 2a = = . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của cạnh AC. Góc giữa

hai mặt phẳng ( ) BCB'C' và ( ) ABC bằng 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Câu 5: (2,0 điểm).

Một đội công nhân xây dựng phải xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m3). Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng của đáy bằng 4. Biết rằng bể nước chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Tính chiều dài của đáy để người thợ xây tốn ít nguyên vật liệu nhất.

----------------- Hết -----------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

TRƯỜNG THPT BẮC SƠN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN THI: TOÁN 12 THPT

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM.

(Đáp án gồm 04 trang)

Câu Đáp án Thang

điểm 1a.

Ta có: +) TXĐ: D =  +) 2 y' 3x 2mx 4m 9 = − − + + .

Hàm số nghịch biến trên ( ) ; −∞+∞ khi ( ) y' 0, x ; ≤ ∀∈−∞+∞

( ) 2 a 3 0

' m 3 4m 9 0

= −<  ⇔∆= + + ≤ 

[ ] m 9; 3 ⇔ ∈− − ⇒ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

0,5

0,5

1,0

1b.

Ta có: ( ) 3 2 y 4x 12mx 6 m 1 x ′ = + + + .

+ TH1: m 1 = −, ta có: 3 2 2 y 4x 12x 4x (x 3) ′ = − = − . Bảng xét dấu

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.

Ta có: 2 x 0 y 0 2x 6mx 3m 3 0(*)

=  ′ = ⇔ + + + = 

+ TH2: m 1 ≠− Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình ( ) * không có hai nghiệm phân biệt

( ) ( ) 2 1 7 1 7 3m 2 3m 3 0 m 3 3 − + ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .

Vậy { } 1 7 1 7 m ; 1 . 3 3

  − + ∈ ∪−    

1,0

1,0

1c.

( ) 2 f x x 2x m 4 = + + − có ( ) f x 2x 2 ′ = + , ( ) f x 0 x 1 ′ = ⇔ = −. Do đó

[ ] { } 2

2;1 max x 2x m 4 max m 1 ; m 4 ; m 5 − + + − = − − − .

Ta thấy m 5 m 4 m 1 − < − < − với mọi m∈, suy ra

[ ] 2;1 max y − chỉ có

thể là m 5 − hoặc m 1 −.

1,0

ĐỀ THI CHÍNH THỨC