Đề học sinh giỏi lớp 12 môn Toán GDTX cấp tỉnh năm 2023 2024 sở GD ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN (GDTX)

Ngày thi: 25/10/2023 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề

Đề thi gồm 05 câu, 01 trang

Câu 1 (3,0 điểm)

Cho hàm số

3 2 1 2 3 4. 3 y x x x = − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 8 1. y x = −

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình:2sin3 cos2 2sin 1 0. x x x + + + =

b) Giải phương trình: 2 4 3 23 5 . x x x − + = −

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 3 viên bi vàng, 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh, 6 viên bi trắng. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 màu.

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(1;3). Viết phương trình đường tròn tâm

A và đi qua B(-1;4).

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là tam giác vuông tại B; mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AB a; BC a 3. = =

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

b) Gọi M là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

Câu 5 (1,0 điểm)

Một người đàn ông muốn xây bể bơi cho trẻ em có thể tích 3 18m và thiết kế bể là hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Tính độ sâu của bể để diện tích gạch lát đáy và thành bể nhỏ nhất.

--- HẾT --- Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ..............................................................…......; Số báo danh: .......................

Chữ kí cán bộ coi thi số 1: ................................ Chữ kí cán bộ coi thi số 2: ......…....................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024

Ngày thi: 25/10/2023 Môn thi: TOÁN (GDTX) (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang)

Câu Đáp án Điểm

1

(2,0 điểm)

Cho hàm số 3 2 1 2 3 4. 3 y x x x = − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

2,0

Tập xác định: D =  0,25

Sự biến thiên:

2 1 4 3; 0 3

x y x x y x

=  ′ ′ = − + = ⇔= 

Hàm số đồng biến trên ( ) ;1 −∞ và( ) 3; . +∞

Hàm số nghịch biến trên( ) 1;3 .

0,5

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại 1 CD x = và giá trị cực đại 8. 3 CD y = −

Hàm số đạt cực tiểu tại 3 CT x = và giá trị cực tiểu 4. CT y = −

0,25

Giới hạn và tiệm cận:

lim ; lim . x x y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞

Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

0,25

Bảng biến thiên:

x −∞ 1 3 +∞

y′ + 0 − 0 +

y

8 3 − +∞

−∞ 4 −

0,25

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm 10 2; 3 M −      

làm tâm đối xứng.

0,5

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng 8 1. y x = − 1,0

Gọi tiếp điểm là ( ) 0 ; . o M x y Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0 ( ).( ) . y f x x x y ′ = − +

0,25

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng 8 1 y x = − nên 0 ( ) 8 f x ′ = hay

0

0 2 2 0 0 0 0

1 4 3 8 4 5 0 . 5

x x x x x x

= −  − + = ⇔ − − = ⇔ = 

0,25

Với 0 1, x = − ta có 0 28. 3 y − = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

28 8( 1) 3 y x = + −

hay 24 3 4 0 x y − − =

Với 0 5, x = ta có 0 8. 3 y = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 8 8( 5) 3 y x = − +

hay 24 3 112 0 x y − − =

0,5

a) Giải phương trình 2sin3 cos2 2sin 1 0. x x x + + + = 1,0

2 2 2

2 2

2sin3 cos2 2sin 1 0 2(sin3 sin ) (cos2 1) 0

2sin2 .cos cos 0 4sin .cos cos 0

cos 0 cos (4sin 1) 0 4sin 1 0

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

+ + + = ⇔ + + + =

⇔ + = ⇔ + =

 = ⇔ + = ⇔ + = 

0,5

TH1: ( ) 2 cos 0 cos 0 . 2 x x x k k π π = ⇔ = ⇔ = + ∈ 0,25