Đề học sinh giỏi lớp 12 môn Toán THPT cấp tỉnh năm 2023 2024 sở GD ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 25/10/2023 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề

Đề thi gồm 05 câu, 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 4 3 4 25 y x x m x m = − + + − đồng biến trên khoảng ( ) 1;+∞.

b) Cho hàm số 3 2 2 3 ( 1) 1, y x mx m x = − + − + với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm

số có hai điểm cực trị 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1. x x − ≥

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập .S Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.

b) Giải phương trình: ( ) 2 2 3 1 2 3 5 2 3. x x x x x x − − + + = + +

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

6 3 2 2 7 3 8. 27 4 2

x y y x

x x y

 + + + = − +  = + +  b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Oxy cho hình vuông ABCD và đường thẳng ∆ có phương

trình 2 6 0 x y − + = . Điểm C thuộc đường thẳng ∆, điểm ( ) 6; 4 M thuộc cạnh . BC Đường tròn

đường kính AM cắt đoạn BD tại điểm ( ) 1; 5 . N Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết

rằng đỉnh C có tọa độ nguyên và đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 1. Câu 4 (3,0 điểm)

a) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và 2 5 SC a = . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm M của AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ) ABC bằng

0 60 . Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ). SAC

b) Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại , A cạnh 2 BC a = và  0 60 . ABC = Biết tứ giác BCC B′ ′ là hình thoi có  B BC ′ nhọn. Biết mặt phẳng ( ) BCC B′ ′ vuông góc với

mặt phẳng ( ) ABC và mặt phẳng ( ) ABB A ′ ′ tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 0 45 . Tính theo a thể

tích khối lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′. c) Cho tứ diện . ABCD Gọi K là điểm thuộc cạnh CD sao cho 2 3 KD KC = và I là điểm thuộc đoạn thẳng BK sao cho 2 . IK IB = Mặt phẳng ( ) α đi qua I và luôn cắt các tia , , AB AC AD lần lượt

tại các điểm , , M N P (khác đỉnh A ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 4. 9. 16. AB AC AD T AM AN AP = + +

Câu 5 (1,0 điểm) Cho [ ] , , 1;4 x y z ∈ và thỏa mãn ; . x y x z ≥ ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 3 x y z P x y y z z x = + + + + +

--- HẾT ---

Họ và tên thí sinh: ..............................................................…......; Số báo danh: ...................................... Chữ kí cán bộ coi thi số 1: ................................ Chữ kí cán bộ coi thi số 2: ......…...................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024

Ngày thi: 25/10/2023

Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang)

Câu Đáp án Điểm

1 (2,0 đ)

a) Tìm m để hàm số ( ) 4 3 4 25 y x x m x m = − + + − đồng biến trên khoảng ( ) 1;+∞. 1,0

Tập xác định . D = 

Ta có 3 2 4 12 25 y x x m ′ = − + + .

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1;+∞ 0 y′ ⇔ ≥ , ( ) 1; x ∀∈ +∞

0,25

3 2 4 12 25 0 x x m ⇔ − + + ≥ , ( ) 1; x ∀∈ +∞ 3 2 4 12 25 m x x ⇔ ≥− + − , ( ) 1; x ∀∈ +∞.

Xét hàm số ( ) 3 2 4 12 25 f x x x = − + − trên ( ) 1;+∞.

0,25

( ) 2 12 24 f x x x ′ = − + .

( ) 2 0 12 24 0 f x x x ′ = ⇔− + = 0

2

x

x

=  ⇔= 

. Ta có bảng biến thiên sau:

0,25

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 3 2 4 12 25, 1 m x x x ≥− + − ∀> 9 m ⇔ ≥−. 0,25

b) Cho hàm số 3 2 2 3 ( 1) 1, y x mx m x = − + − + với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1. x x − ≥ 1,0

Tập xác định . D =  Ta có 2 6 6 1 y x mx m ′ = − + −

2 ' 9 6 6 0, ' 0 m m m y ∆= − + > ∀ ⇒ = có hai nghiệm phân biệt và 'y đổi dấu hai lần. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị với mọi m.

0,25

( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 1 x x x x x x x x − ≥⇔ − ≥⇔ + − ≥ 0,25

Do 1 2 1 2 1 ; 6 m x x m x x − + = = nên ta có ( ) 2 2 1 1 3 m m − − ≥ 0,25

2 1 3 2 1 0 3 1

m m m m

 ≤−  ⇔ − −≥ ⇔ ≥ 

0,25

a) Gọi …